分数比较-差分法

核心概念

1. 差分法的本质理解

想象一下，你和朋友比较两家奶茶店的性价比：

• A店：30元买5杯奶茶，性价比 = $\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
• B店：25元买4杯奶茶，性价比 = $\frac{4}{25}$

哪家更划算呢？直接计算小数比较麻烦，这时候差分法就派上用场了！

2. 差分法公式推导

设有两个分数：$\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$，其中 $a > c$，$b > d$（即分子和分母同时较大）。我们要比较它们的大小，等价于判断： $\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$

1. 通分得：

将分数通分得到： $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$

因为 $b > 0$ 且 $d > 0$，所以 $bd > 0$，因此问题转化为判断： $ad - bc$

2. 判断 $ad - bc$ 的正负性：

• 若 $ad - bc > 0$，则 $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$
• 若 $ad - bc < 0$，则 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$
• 若 $ad - bc = 0$，则 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

3. 巧妙构造差分数：

关键在于如何快速判断 $ad - bc$ 的正负性。为了加速判断，我们需要寻找一个更简便的比较方法。

设 $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$（假设），则： $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} > 0$ $\frac{ad - bc}{bd} > 0$

由于 $b > 0, d > 0$，所以 $bd > 0$，因此： $ad - bc > 0$

现在我们给出差分法的严格证明：

定理： 当 $a > c$，$b > d > 0$ 时，有： $\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a-c}{b-d} > \frac{c}{d}$

证明：

我们需要证明 $\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$ 与 $\frac{a-c}{b-d} - \frac{c}{d}$ 同号。

首先计算： $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$

然后计算： $\frac{a-c}{b-d} - \frac{c}{d} = \frac{(a-c)d - c(b-d)}{d(b-d)} = \frac{ad - cd - cb + cd}{d(b-d)} = \frac{ad - bc}{d(b-d)}$

关键观察：

• $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$
• $\frac{a-c}{b-d} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{d(b-d)}$

由于 $b > d > 0$，我们有：

• $bd > 0$
• $d(b-d) > 0$

因此，$\frac{ad - bc}{bd}$ 与 $\frac{ad - bc}{d(b-d)}$ 具有相同的符号。

这意味着： $\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a-c}{b-d} > \frac{c}{d}$

证毕。□

4. 核心公式：

通过严格的数学推导，我们得到了差分法的核心公式：

$\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a-c}{b-d} > \frac{c}{d}$

4. 差分法比较方法详解

具体比较步骤：

第一步：确定大分数和小分数

• 设 $\frac{a}{b}$ 为分子较大的分数（大分数）
• 设 $\frac{c}{d}$ 为分子较小的分数（小分数）
• 确保 $a > c$ 且 $b > d$

第二步：计算差分数 $\text{差分数} = \frac{a-c}{b-d}$

第三步：比较差分数与小分数

• 计算小分数 $\frac{c}{d}$ 的值（可以是近似值）
• 比较差分数与小分数的大小关系

第四步：根据比较结果得出结论

5. 结果解释的数学原理

为什么这个规则成立？让我们从数学角度深入理解：

从前面的严格推导我们得到： $\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a-c}{b-d} > \frac{c}{d}$

关键洞察：这个等价关系的本质在于两个表达式具有相同的符号：

$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$ $\frac{a-c}{b-d} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{d(b-d)}$

由于分子相同（都是 $ad - bc$），而分母 $bd$ 和 $d(b-d)$ 在条件 $b > d > 0$ 下都为正，因此：

$\text{sign}\left(\frac{ad - bc}{bd}\right) = \text{sign}\left(\frac{ad - bc}{d(b-d)}\right)$

这意味着：

• 当 $\frac{a-c}{b-d} > \frac{c}{d}$ 时，$\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$
• 当 $\frac{a-c}{b-d} < \frac{c}{d}$ 时，$\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$
• 当 $\frac{a-c}{b-d} = \frac{c}{d}$ 时，$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

更直观的理解：

• 差分数 $\frac{a-c}{b-d}$ 反映了"增量比率"（分子增量与分母增量的比值）
• 小分数 $\frac{c}{d}$ 是"基准比率"
• 当增量比率 > 基准比率时，说明分子的增长相对于分母的增长更快，因此大分数更大
• 当增量比率 < 基准比率时，说明分子的增长相对于分母的增长较慢，因此小分数更大

6. 实际应用中的技巧

计算技巧：

1. 差分数优先化简：如 $\frac{15}{3} = 5$，$\frac{24}{8} = 3$
2. 小分数估算即可：通常保留2位小数足够判断
3. 明显大小关系时无需精确计算：如差分数是8，小分数约为2，明显8>2
4. 利用分数性质：如 $\frac{100}{20} = 5$，$\frac{99}{19} \approx 5.2$，可快速判断

7. 差分法使用条件

重要限制：

1. 分子分母必须同向变化：即 $a > c$ 且 $b > d$，或者 $a < c$ 且 $b < d$
2. 差分数的分母不能为0：即 $b \neq d$
3. 适用于接近的分数比较：差分法在分数值接近时效果最佳

真题讲解

主题一：基础分数比较

例1（模拟国考题型）： 比较 $\frac{127}{23}$ 和 $\frac{119}{22}$ 的大小。

A. $\frac{127}{23} > \frac{119}{22}$
B. $\frac{127}{23} < \frac{119}{22}$
C. $\frac{127}{23} = \frac{119}{22}$
D. 无法确定

主题二：小数分数混合比较

例2（模拟省考题型）： 比较 $\frac{456}{73.2}$ 和 $\frac{441}{71.8}$ 的大小。

A. 前者大
B. 后者大
C. 相等
D. 无法比较

主题三：增长率比较问题

例3（模拟联考题型）： 某地区2023年GDP为2840亿元，2024年为2976亿元；另一地区2023年GDP为1960亿元，2024年为2058亿元。比较两地区的GDP增长率。

A. 第一地区增长率高
B. 第二地区增长率高
C. 增长率相等
D. 无法确定

主题四：效率比较问题

例4（模拟国考题型）： 甲工厂用45天生产了180件产品，乙工厂用38天生产了156件产品。比较两工厂的生产效率。

A. 甲工厂效率高
B. 乙工厂效率高
C. 效率相等
D. 无法比较

主题五：复杂数据比较

例5（模拟省考题型）： 比较 $\frac{1247}{203}$ 和 $\frac{1189}{195}$ 的大小。

A. 前者大
B. 后者大
C. 相等
D. 相差极小

速算技巧展示

技巧一：快速心算差分数

技巧二：特殊情况的快速判断

当差分数等于1时，有特殊性质：

若 $\frac{a-c}{b-d} = 1$，即 $a-c = b-d$，则： $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd} = \frac{(c+k)d - c(d+k)}{b \cdot d} = \frac{cd + kd - cd - ck}{bd} = \frac{k(d-c)}{bd}$

其中 $k = a-c = b-d$

技巧总结

1. 使用步骤口诀

1. 同大同小：检查分子分母是否同向变化
2. 差分算：计算差分数 $\frac{a-c}{b-d}$
3. 比一比：比较差分数与小分数的大小

2. 常见错误及避免方法

易错点1：忘记检查使用条件

• 避免方法：每次使用前必须确认分子分母同向变化

易错点2：搞混大分数和小分数

• 避免方法：始终以分子较大的为"大分数"

易错点3：差分数计算错误

• 避免方法：仔细计算 $(a-c)$ 和 $(b-d)$，注意符号

3. 适用题型总结

4. 提升速度的建议

1. 熟练掌握基本运算：加减乘除要快速准确
2. 培养数感：对常见分数的小数值要有直觉
3. 多练习：通过大量练习形成条件反射
4. 灵活运用：当差分数明显大于或小于小分数时，可以不用精确计算

5. 与其他方法的比较

重要提醒与总结