数量关系 第十五课 数字推理

数字推理基本规律

1. 整数数列: ……- 2、- 1、0、1、2、3、4、5、6……
2. 等差数列: $a_{n} = a_{1} + d \times (n - 1)$ 如: 1、3、5、7、9...; 2、5、8、11、14、17...
3. 等比数列: $a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1}$ 如: 1, 2, 4, 8, 16, 32...; 1, 3, 9, 27, 81, 243...; 16, 24, 36, 54, 81...
4. 质数列: 2、3、5、7、11、13、17...
5. 合数列: 4、6、8、9、10、12、14...

多级数推

出题人经常会将上述基本规律隐藏于四则运算 $(-、+、\div、\times)$ 后的结果中

等差数列: $a_{n} = a_{1} + d \times (n - 1)$

等差数列求和公式:

例 3, 9, 18, 30, 45, ()

A. 69 B. 66 C. 63 D. 60

上面例题即是 $a_{n} = 3n$ 的求和数列 $S_n = \frac{3}{2}n^2 + \frac{3}{2}n$ 的表现。

解析 前后作差得到新数列：6, 9, 12, 15，是公差为3的等差数列，所以下一项作差应该是 $15 + 3 = 18$ ，所以原数列下一项是 $45 + 18 = 63$ ，所以选择 C。

结论: 平缓变化、变化增速一致，则优先考虑作差观察多级数列

等比数列： $a_{n} = a_{1}\times q^{n - 1}$

例 11, 27, 51, 87, 141, ()

A. 222 B. 231 C. 259 D. 286

上面例题即是 $a_{n} = 16\times (\frac{3}{2})^{n - 1}$ 的求和数列 $S_n = 16\times \frac{(\frac{3}{2})^n - 1}{\frac{1}{2}} = 32\times [(\frac{3}{2})^{n} - 1]$ 的修正数列 $B_n = 32\times [(\frac{3}{2})^{n - 1} - 1] + 11$ 的表现。

解析 前后作差得到新数列：16，24，36，54，是公比为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列，所以下一项为 $54\times \frac{3}{2} = 81$ ，所以原数列下一项为 $141 + 81 = 222$ ，所以选择 A。

结论: 变化增速一致, 则优先考虑作差

例 -1, -4, 5, -22, 59, ()

A. -184 B. 302 C. -243 D. 140

解析 前后作差得到新数列: -3, 9, -27, 81, 是公比为-3的等比数列, 所以下一项应该是 $81\times (-3) = -243$ 所以原数列下一项是 $59 - 243 = -184$ , 所以选择 A。

例 2, 3, 1, -4, -12, ()

A. -14 B. -20 C. -23 D. -26

解析 前后作差得到新数列: 1, -2, -5, -8, 是公差为-3的等差数列, 所以下一项作差应该是 $-8 - 3 = -11$ , 所以原数列下一项是 $-12 - 11 = -23$ , 所以选择 C。

例 87, 86, 84, 79, 69, 52, ()

A. 24 B. 25 C. 26 D. 27

解析 前后作差得到新数列: -1, -2, -5, -10, -17, 再次作差得到新数列: -1, -3, -5, -7, 是公差为-2的等差数列, 所以下一项应该是 $-7 - 2 = -9$ , 所以原作差数列下一项是 $-17 - 9 = -26$ , 所以原数列下一项是 $52 - 26 = 26$ , 所以选择 C。

例 -2, 7, 6, 19, 22, ()

A. 33 B. 39 C. 42 D. 54

• 奇数项: $a_{n} = n^{2} - 3$
• 偶数项: $a_{n} = n^{2} + 3$

解析 前后作和得到新数列: 5, 13, 25, 41。再次作差得到新数列: 8, 12, 16, 是公差为4的等差数列, 所以下一项是 $16 + 4 = 20$ , 则作和数列下一项为 $41 + 20 = 61$ , 所以原数列下一项是 $61 - 22 = 39$ , 选择 B。

结论: 平缓变化, 变化增速不一致, 忽大忽小, 则优先考虑作和

例 23, 1, -5, 5, 31, ()

A. -11 B. 47 C. 73 D. 83

解析 题干数列忽大忽小, 作和得到新数列: 24, -4, 0, 36, 再次作差得到新数列: -28, 4, 36, 是公差为32的等差数列, 所以下一项为 $36 + 32 = 68$ , 则原作和数列下一项为 $36 + 68 = 104$ , 所以原数列下一项为 $104 - 31 = 73$ , 选择 C。

例 -1.6, -4, -6, -3, 1.5, ()

A. -2.25 B. -1.5 C. 1.5 D. 3.75

解析 前后倍数关系明显, 前后作商得到新数列: 2.5, 1.5, 0.5, -0.5, 是公差为-1的等差数列, 所以下一项为-1.5, 所以原数列下一项为 $1.5\times (-1.5) = -2.25$ , 所以选择 A。

结论: 前后项存在明显倍数关系时, 考虑直接作商。

例 3, 7, 15, 31, ()

A. 63 B. 52 C. 46 D. 40

解析 题干数据增长幅度较大, 后项皆 $\approx$ 前项 $\times 2$ , 考虑等比修正, $7 = 3\times 2 + 1$ , $15 = 7\times 2 + 1$ , $31 = 15\times 2 + 1$ , 所以原数列规律是 $a_{n+1} = 2 \times a_{n} + 1$ , 所以下一项 $= 31\times 2 + 1 = 63$ , 所以选择 A。

结论: 前后项存在相近倍数时, 考虑等比修正。

例 2, 3, 7, (), 121, 721

A. 11 B. 17 C. 19 D. 25

解析 观察发现121与721之间存在近似6倍关系: $120\times 6 = 720$ , 先将原数列修正, 全部-1, 得到新数列: 1, 2, 6, (), 120, 720, 前后作商得到2, 3, ?, ?, 6, 倍数越来越大, 合理猜测倍数是自然数列2, 3, 4, 5, 6, 则中间项为 $6\times 4 = 24$ , 验证 $24\times 5 = 120$ , 符合, 所以原数列括号处为 $24 + 1 = 25$ , 选择 D。

例 1, 2, 7, 20, 61, 182, ()

A. 268 B. 374 C. 486 D. 547

解析 观察发现题干数列增长幅度较大，前后倍数关系相对明显， $7\times 3 = 21$ ， $20\times 3 = 60$ ， $61\times 3 = 183$ 都与后项很靠近，分别需要-1、+1、-1修正，所以是等比修正数列，-1、+1修正循环。所以下一项为 $182\times 3 + 1 = 547$ ，所以选择 D

例 2, 3, 6, 18, 108, ()

A. 1944 B. 1620 C. 1296 D. 1728

解析 前后倍数关系明显，作商得到新数列：1.5，2，3，6，发现新数列的2、3、6正好是原数列的前一项，所以原数列规律为 $a_{n+2} = a_n\times a_{n+1}$ ，下一项为 $18\times 108 = 1944$ ，所以选择 A

例 1, 3, 4, 13, 53, (), 36571

A. 690 B. 780 C. 850 D. 920

解析 原数列增长幅度较大，考虑乘除关系， $4 = 1\times 3 + 1$ ， $13 = 3\times 4 + 1$ ， $53 = 4\times 13 + 1$ ，由此观察出规律为 $a_{n+2} = a_{n}\times a_{n+1} + 1$ ，下一项为 $13\times 53 + 1 = 690$ ，所以选择 A

分组数列

分组方式

1. 机械划分
2. 小数点
3. 根号
4. 分式
5. 幂次
6. 因式分解

机械划分

例 1, 2, 7, 13, 49, 24, 343, ()

A. 35 B. 69 C. 114 D. 238

解析 题干数列项数较多，且间隔存在联系，考虑机械划分分组，奇数项一组、偶数项一组，奇数项组：1，7，49，343，是公比为7的等比数列。偶数项组：2，13，24，（），是公差为11的等差数列，所以下一项为 $24 + 11 = 35$ ，所以选择 A

例 389, 569, 479, 587, 299, ()

A. 845 B. 787 C. 673 D. 668

解析 题干数列数字位数较多, 考虑机械划分, (3, 8, 9), (5, 6, 9), (4, 7, 9), (5, 8, 7), (2, 9, 9), 前后每组变化都有数字变大或者变小, 考虑求和, 观察发现每一组之和 $= 20$ , 所以括号处数字每一位数求和也为 20, 只有选项 D 符合, 所以选择 D。

例 24, 416, 636, 864, 10100, ()

A. 11121 B. 12144 C. 11144 D. 12121

解析 题干数列数字位数较多, 考虑机械划分。每个数字前后存在平方关系, 所以划分为 (2, 4), (4, 16), (6, 36), (8, 64), (10, 100), 左项为偶数列, 所以下一项左边为 12; 右项 $=$ 左项平方, 所以右项为 $12 \times 12 = 144$ , 所以原数列括号处为 12144, 选择 B。

小数点

例 -32.16, 48.23, -72.30, 108.37, -162.44, ()

A. 230.51 B. 230.62 C. 243.51 D. 243.62

解析 题干数列都存在小数点, 考虑小数点分组。小数点左边组数列为: -32, 48, -72, 108, -162, 是公比为-1.5的等比数列, 所以下一项为 $-162 \times (-1.5) = 243$ , 排除 AB。小数点右边项为 16, 23, 30, 37, 44, 是公差为 7 的等差数列, 所以下一项为 $44 + 7 = 51$ , 所以括号处为 243.51, 选择 C。

例 3.2, 5.5, 11.9, 19.21, 43.37, ()

A. 73.89 B. 75.85 C. 85.73 D. 89.75

解析 题干数列都存在小数点, 考虑小数点分组。小数点左右两侧求和存在整数倍关系, 所以将小数点左项与右项求和得到新数列: 5, 10, 20, 40, 80, 是公比为 2 的等比数列, 所以下一项为 $80 \times 2 = 160$ , 只有 B 选项符合小数点左右两数之和为 160, 所以选择 B。

例 7.1, 8.6, 14.2, 16.12, 28.4, ()

A. 32.24 B. 30.24 C. 32.44 D. 30.64

解析 题干数列都存在小数点, 考虑小数点分组。小数点左项 $=$ 前数小数点左项右项之和, 小数点右项 $=$ 前数小数点左项右项之差, 所以下一项左项 $= 28 + 4 = 32$ , 右项 $= 28 - 4 = 24$ , 所以选择 A。

根号

例 $720\sqrt{2}$ , $120\sqrt{2}$ , $12\sqrt{24}$ , $6\sqrt{30}$ , $2\sqrt{210}$ , ()

A. $\sqrt{210}$ B. $\frac{10}{3}\sqrt{42}$ C. $6\sqrt{35}$ D. $\sqrt{1890}$

解析 题干数列存在根号，考虑根号分组。根号外：720，120，12，6，2，根号内：2，2，24，30，210，倍数关系比较明显，但2，2，24，30此处24较不“合群”，离前面2太远、离30太近，不太符合“抛物线”“指数函数”等特点，所以考虑将 $12\sqrt{24}$ 提取平方数， $12\sqrt{24} = 12\sqrt{4\times 6} = 24\sqrt{6}$ ，所以数列分组变为：根号外：720，120，24，6，2，前项除后项得到：6，5，4，3，所以下一项 $= 2\div 2 = 1$ ；根号内：2，2，6，30，210，后项除前项得到1，3，5，7，所以下一项为 $210\times 9 = 1890$ ；所以原数列下一项为 $1\times \sqrt{1890}$ 即 $\sqrt{1890}$ ，选择 D

例 $2，4\sqrt{2}，12，8\sqrt{7}，10\sqrt{11}$ ，（

A. $13\sqrt{15}$ B. 48 C. $12\sqrt{17}$ D. 45

解析 题干数列存在根号，考虑根号分组。第三项12可以改写为 $6\sqrt{4}$ ，所以2、3、4、5项根号内为：2，4，7，11，作差得到2，3，4，所以前一项根号内为1，所以原数列最终改写为： $2\sqrt{1}$ ， $4\sqrt{2}$ ， $6\sqrt{4}$ ， $8\sqrt{7}$ ，$10\sqrt{11}$ ，根号外是偶数列，下一项为12，根号内作差得到等差数列1，2，3，4，所以下一项为 $11 + 5 = 16$ ，所以下一项是 $12\sqrt{16} = 48$ ，所以选择 B

例 $1， 3 + \sqrt{3}， 5 + \sqrt{6}，10， 9 + 2\sqrt{3}$ ，（

A. $13+ \sqrt{15}$ B. $11 + 3\sqrt{3}$ C. $11 + \sqrt{15}$ D. $13 + 2\sqrt{3}$

解析 题干数列存在根号，考虑根号分组。第4项10可以改写为 $7 + \sqrt{9}$，第五项 $9+2\sqrt{3} = 9+\sqrt{12}$。根号内为3，6，9，12，所以大胆猜测形成公差为3的等差数列。所以根号外为1，3，5，7，9，所以下一项根号外为11，根号内为 $12 + 3 = 15$ ，即 $11 + \sqrt{15}$ ，所以选择 C

分式

例 $1, \frac{7}{8}, \frac{11}{16}, \frac{1}{2}, \frac{11}{32}$

A. $\frac{29}{128}$ B. $\frac{27}{64}$ C. $\frac{13}{32}$ D. $\frac{7}{32}$

解析 题干数列存在大量分式，考虑分式分组，但分子分母都存在构建新数列障碍：7，11，1，11，1和11明显太小；8，16，2，32，2明显太小，所以需要对第1, 4项进行反约分分子分母放大。分母8，16，32倍数关系明显，大胆猜测是等比为2的等比数列，所以原数列改写为 $\frac{4}{4}, \frac{7}{8}, \frac{11}{16}, \frac{16}{32}, \frac{22}{64}$ ，则分子项数列为4，7，11，16，22，作差得到3，4，5，6，所以下一项分子为 $22 + 7 = 29$ ，分母为 $64\times 2 = 128$ ，所以选择A。

例 $1, \frac{1}{2}, \frac{4}{7}, \frac{4}{5}, \frac{16}{13}$

A. $\frac{31}{14}$ B. $\frac{32}{15}$ C. 2 D. $\frac{29}{18}$

解析 题干数列存在大量分式，考虑分式分组。第4项分母的5明显太小，需要反约分至7，13之间，所以第四项改写为 $\frac{8}{10}$ ，分母上7，10，13，是公差为3的等差数列，所以原数列改写为 $\frac{1}{1}, \frac{2}{4}, \frac{4}{7}, \frac{8}{10}, \frac{16}{13}$ 下一项分母是16，分子项1，2，4，8，16是公比为2的等比数列，所以下一项分子是32， $\frac{32}{16} = 2$ ，所以选择 C。

例 $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{5}{7}, \frac{7}{17}, \frac{23}{25}$

A. $\frac{27}{31}$ B. $\frac{39}{43}$ C. $\frac{47}{49}$ D. $\frac{35}{64}$

解析 题干数列存在大量分式，考虑分式分组。横向分子分母分组的话，分子第二项1太小，但是放大后会导致分母5变得太大，所以不适合横向分组。纵向观察发现 $5 + 7 = 12$ ， $7 + 17 = 24$ ， $23 + 25 = 48$ ，都是常见数，且成等比数列，所以对每一项进行分子分母求和得到新数列：3，6，12，24，48，是公比为2的等比数列，所以下一项为 $48\times 2 = 96$ ，选项种只有C选项分子分母之和为96，所以选择 C。

例 $2, \frac{5}{2}, \frac{11}{4}, \frac{35}{12}, \frac{73}{24}$

A. $\frac{151}{120}$ B. $\frac{19}{36}$ C. $\frac{151}{72}$ D. $\frac{377}{120}$

解析 题干数列存在大量分式，考虑分式分组。分母存在明显倍数关系， $2\times 2 = 4$ ， $4\times 3 = 12$ ， $12\times 2 = 24$ ，结合选项中存在两个分母为120的，大胆猜测分母是依次 $\times 1$ 、2、3、4数列，则原数列改写为 $\frac{4}{2}, \frac{5}{2}, \frac{11}{4}, \frac{35}{12}, \frac{146}{48}$ ，则后一项分母为 $48\times 5 = 240$ ，但分子4，5，11，35，146难以寻得规律，放弃此思路。 既然分母皆存在倍数关系，即存在公因子关系，所以分母统一化为24看大小关系： $\frac{48}{24}, \frac{60}{24}, \frac{66}{24}, \frac{70}{24}, \frac{73}{24}$ 单调递增，所以作差得到新数列 $\frac{12}{24}, \frac{6}{24}, \frac{4}{24}, \frac{3}{24}$，此路不通。

将原数列改写为 $2+\frac{0}{24}, 2+\frac{1}{2}, 2+\frac{3}{4}, 2+\frac{11}{12}, 2+\frac{25}{24}$ 原数列可以改写成 $2.5-0.5, 2.75-0.25, 2.916-0.083, 3.04-0.04$ 将原数列各项-2得到 $0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{11}{12}, \frac{25}{24}$，通分得到 $\frac{0}{24}, \frac{12}{24}, \frac{18}{24}, \frac{22}{24}, \frac{25}{24}$。分子作差得到12, 6, 4, 3。

例 $1, \frac{5}{6}, \frac{7}{10}, \frac{3}{5}, \frac{8}{15},$ ()

A. $\frac{4}{7}$ B. $\frac{11}{20}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{16}{23}$

解析 题干数列存在大量分式，考虑分式分组。但第4项分母介于10-15之间的话不易反约分为5的倍数，而如果要连带其他项一起反约分义太复杂往往超过出题考察难度。再观察发现题干数列分式大小单调递减，考虑大小关系，分母统一化为公倍数30，改写为 $\frac{30}{30}, \frac{25}{30}, \frac{21}{30}, \frac{18}{30}, \frac{16}{30}$ ，分子作差得到新数列：-5，-4，-3，-2，所以下一项分子为16-1=15，所以原数列下一项为 $\frac{15}{30}$ 即 $\frac{1}{2}$ ，所以选择C。

并非分组

根号

例 $\sqrt{5}, \sqrt{55}, 11\sqrt{5}, 11\sqrt{55},$ ()

A. $22\sqrt{5}$ B. $121\sqrt{5}$ C. $22\sqrt{55}$ D. $121\sqrt{55}$

解析 题干数列每项都存在 $\sqrt{5}$ 的因子，倍数关系比较明显，前后作商发现原数列是公比为 $\sqrt{11}$ 的等比数列，所以下一项为 $11\sqrt{55} \times \sqrt{11} = 121\sqrt{5}$ ，选择B。

例 $2, 3, 4, 3\sqrt{3}, \sqrt{46}$ ，（

A. 8 B. $4\sqrt{5}$ C. 9 D. $2\sqrt{21}$

解析 题干数列出现根号，但46无法拆出平方数，所以将前面项全部改写至根号内： $\sqrt{4}，\sqrt{9}，\sqrt{16}，\sqrt{27}，\sqrt{46}$ ，根号内数字单调递增，前后作差：5，7，11，19，再次作差：2，4，8，是公比为2的等比数列，下一项为 $8 \times 2 = 16$ ，所以前一级数列下一项为 $19 + 16 = 35$ ，则原数列下一项为 $\sqrt{46+35} = \sqrt{81} = 9$ ，所以选择C。

分式

例 $\frac{9}{8}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2},$ (), $\frac{2}{9}, \frac{4}{27}$

A. $\frac{2}{3}$ B. 1 C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{5}{6}$

解析 题干数列分子分母存在大量公因子2、3（很多2的倍数，3的倍数），且整体单调递减，考虑倍数关系。 前后作商发现是公比为 $\frac{2}{3}$ 的等比数列，所以括号处为 $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ ，所以选择 C。

分组

幂次

常见平方数: 1、4、9、16、25；36、49、64、81、100；121、144、169、196、225；256、289、324、361、400

常见立方数: 1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000

复合幂次数列

• $a_{n} = n^{n}: 1, 4, 27, 256, \ldots$
• $a_{n} = n^{n - 1}: 1, 2, 9, 64, 625, \ldots$
• $a_{n} = (2n - 1)^{n - 1}: 1, 3, 25, 343, 6561, \ldots$

结论: 观察到多个常见幂次数，则考虑幂次数列

例 1, 1, 4, 9, 25, (

A. 64 B. 49 C. 81 D. 121

解析 题干数列存在大量幂次数，考虑转化幂次分组，改写为： $1^{2}, 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 5^{2}$ ，指数列都是2，底数列1，1，2，3，5，是求和递推数列，所以下一项指数 $= 2$ ，底数 $= 3 + 5 = 8$ ，即 $8^{2} = 64$ ，所以选择A。

例 27, 16, (), 1, $\frac{1}{7}$

A. 10 B. 5 C. 0 D. -1

解析 题干数列存在大量幂次数，考虑转化幂次分组，改写为： $3^{3}, 4^{2}, (), 6^{0}, 7^{-1}$ ，所以括号处为 $5^{1} = 5$ ，选择 B。

$\Delta$ 幂次修正

1. m 为常数， p 为常数: $a_{n} = n^{3} - 1$ ：0，7，26，63，124. ..
2. m 为常数， p 为数列: $a_{n} = n^{3} + n\colon 2, 10, 30, 68, 130, 222, \ldots$
3. m 为数列， p 为常数: $a_{n} = n^{n - 1} + 1\colon 2, 3, 10, 65, 626, \ldots$
4. m 为数列， p 为数列: $a_{n} = n^{n - 1} + n\colon 2, 4, 12, 68, 630, \ldots$
5. n 为常数， m ， p 为数列: $a_{n} = 3^{n} + n\colon 4, 11, 30, 85, 248, \ldots$

结论: 结论变化幅度大，观察到多个常见幂次数附近的数，则考虑幂次修正

例 5，63，37，511，101，（）

A. 1727 B. 1833 C. 1905 D. 1929

解析 观察到多个常见幂次数附近的数，考虑幂次修正，原数列改写为： $2^{2} + 1$ ， $4^{3} - 1$ ， $6^{2} + 1$ ， $8^{3} - 1$ ， $10^{2}+1$ 。底数列：2，4，6，8，10，公差为2，所以下一项底数为12；指数列：2，3，2，3，2循环，所以下一项指数为3；修正项： $+1$ ， $-1$ ， $+1$ ， $-1$ ， $+1$ 循环，所以下一项修正项为 $-1$ 。所以下一项为 $12^{3} - 1 = 1727$ ，选择 A。（注：此处可以使用尾数法， $12^{3}$ 尾数一定是8， $8 - 1 = 7$ ，只有A符合)

例 35，84，67，28，（）。

A. 2 B. 4 C. 7 D. 9

解析 观察到多个常见幂次数附近的数，考虑幂次修正，原数列改写为： $2^{5} + 3$ ， $3^{4} + 3$ ， $4^{3} + 3$ ， $5^{2} + 3$ ，底数列是自然数列下一项为6，指数列是公差为-1的等差数列，下一项为1，修正项始终为3，所以下一项是 $6^{1}+3=9$。（注：此题难点在于第一项第二项容易看成 $6^{2} - 1$ 和 $9^{2} + 1$ ，首先幂次修正最近原则没有问题，但还需要和其他项结合观察其是否可以形成规律，如果无法形成则需要考虑其他幂次修正路径，其次幂次数推一般来说底数列由小至大的概率更高，很少有幂次数推是以比较大的底数开头的，此为做题意识。）

例 0, 6, 24, 60, 120, ()

A. 200 B. 210 C. 220 D. 230

解析 观察到第3项、第4项、第5项正好是3、4、5的幂次数附近，考虑幂次修正。原数列改写为： $1^{3} - 1, 2^{3} - 2, 3^{3} - 3, 4^{3} - 4, 5^{3} - 5$ ，所以下一项为 $6^{3} - 6 = 210$ ，所以选择 B。

因式分解

• $a_{n} = b_{n}\times c_n$
• $a_{n} =$ 偶数列 $\times$ 质数列：4，12，30，56. ..
• $a_{n} =$ 自然数列 $\times$ 合数列：4，12，24，36. ..

占比: 数列中基本都是合数时，或者项数不多时，可以考虑因式分解

例 10，21，44，65，（

A. 122 B. 105 C. 102 D. 90

解析 项数不多、都是合数、21、44不适合幂次、递增但增长幅度忽大忽小，种种特征指向因式分解，原数列改写为： $2\times 5, 3\times 7, 4\times 11, 5\times 13$ ，左项为自然数列，下一项为6；右项为质数列，下一项为17。所以原数列下一项为 $6\times 17 = 102$ ，所以选择 C。

例 2, 6, 15, 28, 55, (

A. 75 B. 76 C. 77 D. 78

解析 项数不多、都是合数、都存在各自项数的因子（比如第4项 $28 = 4\times 7$ 的4)，考虑因式分解，原数列改写为： $1\times 2, 2\times 3, 3\times 5, 4\times 7, 5\times 11$ ，左项为自然数列下一项为6，右项为质数列下一项为13，所以原数列下一项为 $6\times 13 = 78$ ，所以选择 D。

例 0, 4, 18, (

A. 48 B. 46 C. 36 D. 28

解析 项数少，考虑因式分解，原数列改写为： $0 \times 1^{2}, 1 \times 2^{2}, 2 \times 3^{2}$ ，所以下一项为 $3 \times 4^{2} = 48$ ，选择 A。

复杂递推

• $a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1}$: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
• $a_{n+2} = a_{n+1} - a_{n}$: 60, 40, -20, -60, -40, 20, ...
• $a_{n+2} = a_{n} - \frac{1}{2} \times a_{n+1}$: 30, 16, 22, 5, 19.5, ...
• $a_{n+2} = \frac{1}{2} \times (a_{n} + a_{n+1})$: 1.2, 2.8, 2, 2.4, 2.2, 2.3, ...
• $a_{n+2} = 3 \times (a_{n+1} - a_{n})$: 3, 7, 12, 15, 9, -18, ...

递推主要思路：作差/求和观察与原数列关系。

例 4, 5, 7, 8, 13, ()

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

解析 单调递增，作差得到新数列：1，2，1，4，无明显关系。整体变化不大，考虑求和，得到新数列：9，12，15，21，发现都是3的倍数，观察原数列，发现12，15，21正好是4，5，7的3倍，所以原数列关系为 $3 \times a_{n} = a_{n+1} + a_{n+2}$ ，即 $a_{n+2} = 3 \times a_{n} - a_{n+1}$ ，所以下一项 $= 3\times 8 - 13 = 11$ ，所以选择 B。

例 80, 56, 52, 30, 37, ()

A. $\frac{21}{2}$ B. 11 C. $\frac{23}{2}$ D. 12

解析 整体变小趋势，作差得到新数列：-24，-4，-22，7，无明显规律。再观察发现选项中存在 $\frac{1}{2}$ ，考虑 $\frac{1}{2}$ 递推关系。3项一组进行分析，发现 $a_{n+2} = a_{n} - \frac{1}{2} \times a_{n+1}$ ，所以下一项 $= 30 - \frac{1}{2} \times 37 = \frac{23}{2}$ ，所以选择 C。

例 3, 4, 6, 12, 36, ()

A. 72 B. 108 C. 216 D. 288

解析 题干数列倍数关系较为明显，前后作商得到新数列： $\frac{4}{3}, \frac{3}{2}, 2, 3$ ，发现 $\frac{3}{2}$ ，2，3 正好是原数列 3，4，6 的一半，所以发现原数列规律为 $a_{n+2} = \frac{1}{2} \times a_{n} \times a_{n+1}$ ，所以下一项 $= \frac{1}{2} \times 12 \times 36 = 216$ ，所以选择 C。

例 0，-1，1，4，9，（

A. 9 B. 16 C. 25 D. 32

解析 整体变大趋势，作差得到新数列：-1, 2, 3, 5，无明显规律，而后发现原数列存在连续的3个幂次数：1, 4, 9，正好分别是刚刚作差数列-1，2，3的平方。所以原数列规律为 $a_{n+2} = (a_{n+1} - a_n)^2$ ，所以下一项 $= (9 - 4)^2 = 25$ ，所以选择 C。

例 2，3，4，15，56，（

A. 285 B. 235 C. 245 D. 225

解析 题干数列整体变大幅度较大，观察倍数关系， $56 = 15\times 4 - 4$ ，而倍数关系有越来越大的趋势，所以前面15与4的倍数关系按3倍考虑， $15 = 4\times 3 + 3$ ，以此类推， $4 = 3\times 2 - 2$ ，可以发现规律 $a_{n+2} = n \times a_{n+1} \pm n$ ，所以下一项 $= 5\times 56 + 5 = 285$ ，所以选择 A。

例 $\frac{1}{4}, \frac{5}{4}, \frac{9}{20}, \ldots$

A. $\frac{11}{20}$ B. $\frac{29}{180}$ C. $\frac{37}{38}$ D. $\frac{51}{291}$

解析 原数列分母倍数关系比较明显，发现后项分母 $=$ 前项分母 $\times$ 前项分子，所以下一项分母 $= 20\times 9 = 180$ 。而分子1，5，9，可能是等差数列下一项13，但没有答案。1，5，9都是相差4正好是第一项第二项的分母，所以规律是后项分子 $=$ 前项分子 $+$ 前项分母，所以下一项分子 $= 9 + 20 = 29$ ，所以原数列下一项是 $\frac{29}{180}$ 选择 B。

数推思路总结

1. 前后存在倍数关系，直接 $\div$
2. 前后存在大概倍数关系，考虑倍数 $+$ 修正
3. 没有倍数关系，波动不大，作差
4. 存在小数点、根号、分式，考虑分组数列，分组时也要注意自身内部是否存在关系
5. 存在幂次数或者幂次数邻居，考虑幂次/修正
6. 位数多注意机械划分、项数多注意分组
7. 上下波动优先求和，但不要忘了作差，作差作和后检查下与原数列的关系
8. 数列都是合数，注意因式分解
9. 数列存在0时优先作差求和，数列/选项存在“x.5”时优先考虑1/2项递推。
10. 遇事不决先减为敬，一次不行来两次，两次不行来三次

“奇怪”的数推

例 23:30，23:35，23:50，0:20，1:10，（

A. 3:20 B. 2:25 C. 1:45 D. 1:20

解析 题干数列从第三项到第四项的 $23\rightarrow 0$ 归零，表明此数列表达的含义是时间关系，作差得到：5 分钟，15 分钟，30 分钟，50 分钟，再次作差得到：10 分钟，15 分钟，20 分钟，公差为5 分钟的等差数列，所以下一项为25 分钟，原作差数列下一项为 $50 + 25 = 75$ 分钟，所以原数列下一项为1:10 + 75 分钟 $= 2:25$ ，所以选择B。

例 9997，7964，3463，8447，5632，

A. 8884 B. 8886 C. 8887 D. 8888

解析 题干数列每项位数较多，考虑机械划分求和， $9 + 9 + 9 + 7 = 34$ ，以此类推得到新数列：34，26，16，23，16，可以发现新数列除3 后分别余1、余2 循环，所以下一项应当是除3 余2 的数，选项中只有D 选项各位数字之和32 满足此条件，所以选择D。

数推补充知识

3与9的余数

1. 各位数字相加 $= 3n$ ，则可以被3整除；
2. 各位数字相加 $= 9n$ ，则可以被9整除；
3. 各位数字相加 $= 3n + a$ ，则被3除后余a；
4. 各位数字相加 $= 9n + a$ ，则被9除后余a。

例 3，6，12，（），130，732

A. 32 B. 48 C. 72 D. 100

解析 观察发现各项变化幅度较大，考虑倍数关系，130 与732 接近6 倍关系，而各自缩小后的120 与720才是常用的6 倍关系，所以考虑倍数修正，发现每项 $= n! + 2n$ ，所以括号处 $= 4! + 8 = 24 + 8 = 32$ ，所以选择A。

数推补充知识

阶乘

$n! = 1\times 2\times 3\times \ldots \times n = n\times(n - 1)!$

例 1，2-lg2， $1 + 2\lg5$ ， $1 + 3\lg5$ ，5-4lg2，

A. 1+5lg5 B. 2-3lg5 C. 2+4lg2 D. lg35250

解析 观察发现数列中存在大量 $\lg 2$ 与 $\lg 5$ ，而 $\lg 2 + \lg 5 = 1$ ，所以我们把所有的 $\lg 2$ 换成 $1-\lg 5$ 得到新数列：1， $1 + \lg 5$ ， $1 + 2\lg 5$ ， $1 + 3\lg 5$ ， $1 + 4\lg 5$ ，是公差为 $\lg 5$ 的等差数列，所以下一项 $= 1 + 5\lg 5$ ，选择 A。

数推补充知识

对数

如果 $a^x = N$ ，那么 $x = \log_{a}{N}$

特殊对数表达形式

特殊对数值

对数运算公式