增长率定义与公式

一、核心知识点梳理

1. 增长率与倍数的本质关系

增长率是资料分析中的核心概念，我们先从一个生活中的例子来理解它的本质。

生活实例推导： 假设小明今年的工资是1万元，去年的工资是8000元。我们来分析他的工资增长情况：

增长量 = 今年工资 - 去年工资 = 10000 - 8000 = 2000元
增长率 = 增长量 ÷ 去年工资 = 2000 ÷ 8000 = 0.25 = 25%

这意味着小明的工资在去年的基础上增长了25%。

核心公式推导：

设基期量为 $A$ ，现期量为 $B$ ，增长率为 $r$ ，则：

$增长率(r) = \frac{增长量}{基期量} = \frac{现期量 - 基期量}{基期量} = \frac{B - A}{A}$

整理得： $r = \frac{B}{A} - 1$

因此： $\frac{B}{A} = 1 + r$

这就是增长率与倍数的本质关系：倍数 = 1 + 增长率

2. 三类核心倍数关系

基于上面的推导，我们可以得出三种重要的倍数关系：

类型	公式	实例说明
现期是基期的倍数	$\frac{现期量}{基期量} = 1 + r$	若 $r = 20\%$ ，则现期是基期的1.2倍
增长量是基期的倍数	$\frac{增长量}{基期量} = r$	若 $r = 20\%$ ，则增长量是基期的0.2倍
基期是现期的倍数	$\frac{基期量}{现期量} = \frac{1}{1+r}$	若 $r = 25\%$ ，则基期是现期的0.8倍

推导过程：

以小明工资为例（基期8000元，现期10000元，增长率25%）：

现期是基期的倍数： $\frac{10000}{8000} = 1.25 = 1 + 0.25$
增长量是基期的倍数： $\frac{2000}{8000} = 0.25 = r$
基期是现期的倍数： $\frac{8000}{10000} = 0.8 = \frac{1}{1.25}$

3. 高频考点公式体系

(1) 增长率的倍数关系

当比较两个地区或时期的现期量时： $\frac{现期量A}{现期量B} = \frac{基期量A \times (1+r_{A})}{基期量B \times (1+r_{B})} = \frac{基期量A}{基期量B} \times \frac{1+r_{A}}{1+r_{B}}$

(2) 隔年倍数公式

连续两年的增长： $隔年倍数 = (1+r_1) \times (1+r_2)$

推导：假设2020年为基期A，2021年增长率为 $r_A$ ，2022年增长率为 $r_B$

2021年量 = $A \times (1+r_{A})$
2022年量 = $A \times (1+r_{A}) \times (1+r_{B})$
因此2022年是2020年的 $(1+r_{A}) \times (1+r_{B})$ 倍

(3) 倍数与增长率的逆向转换

多几倍 = 增长率
是几倍 = 1 + 增长率

4. 易错概念分析

表述形式	数学关系	示例验证
"A是B的n倍"	$A = n \times B$	若n=1.5，则A比B多50%
"A比B多n倍"	$A = (n+1) \times B$	若多2倍，即A=3B，增长200%
"A超过B的n倍"	$A > n \times B$	超过2倍即A>2B
"A不足B的n倍"	$A < n \times B$	不足3倍即A<3B

易错提醒：

"增长了2倍"表示增长率为200%，现期是基期的3倍
"增长到2倍"表示现期是基期的2倍，增长率为100%

5. 实战速算技巧

(1) 常用增长率与倍数互化

$r = 33.3\% ≈ \frac{1}{3}$ → 倍数 = $\frac{4}{3}$
$r = 25\% = \frac{1}{4}$ → 倍数 = $\frac{5}{4}$
$r = 20\% = \frac{1}{5}$ → 倍数 = $\frac{6}{5}$
$r = 16.7\% ≈ \frac{1}{6}$ → 倍数 = $\frac{7}{6}$

(2) 近似计算技巧

当 $|r| < 10\%$ 时： $\frac{1}{1+r} ≈ 1-r$

注意方向性：

当 $r > 0$ 时， $\frac{1}{1+r} > 1-r$
当 $r < 0$ 时， $\frac{1}{1+r} < 1-r$

二、真题精析

1. 基本增长率计算

例1：某市2020年GDP为5000亿元，2019年GDP为4500亿元，问2020年该市GDP同比增长率约为多少？

A. 10.0%
B. 11.1%
C. 12.5%
D. 13.3%

2. 增长率比较

例2：下表为某省2019年四个地区的经济数据：

地区	2019年GDP(亿元)	2018年GDP(亿元)
A市	2400	2000
B市	1800	1600
C市	3000	2700
D市	1500	1350

2019年GDP增长率最高的地区是：

A. A市
B. B市
C. C市
D. D市

3. 倍数与增长率转换

例3：某企业2018年利润为200万元，2019年利润为240万元。则2019年利润是2018年利润的多少倍？比2018年增长了多少倍？

A. 1.2倍，0.2倍
B. 1.2倍，1.2倍
C. 0.2倍，1.2倍
D. 2倍，1.2倍

三、特殊题型突破

题型1：增长率比较倍数

当题目给出现期量和基期量，要求比较增长率大小时：

解题策略：

倍数明显时（现期≥2倍基期）：比较 $\frac{现期}{基期}$
倍数不明显时（现期≈1.1-1.5倍基期）：比较 $\frac{增长量}{基期}$

例4：某地区四个城市2020年和2019年的工业产值如下表：

城市	2020年(亿元)	2019年(亿元)
甲	180	150
乙	240	200
丙	320	300
丁	450	400

增长率最高的城市是：

A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

题型2：负增长倍数关系

涉及负增长（下降）时的倍数计算：

核心要点：

下降率为负增长率：下降10% = 增长率-10%
倍数关系：现期 = 基期 × (1 - 下降率)

例5：某行业2020年产值为800亿元，比2019年下降了20%。问2020年产值是2019年产值的多少倍？

A. 0.8倍
B. 1.2倍
C. 0.2倍
D. 1.8倍

题型3：倍数与增长率混合

同时涉及倍数描述和增长率计算：

例6：甲公司2019年收入是乙公司的1.5倍，甲公司2020年收入比2019年增长20%，乙公司2020年收入比2019年增长30%。问2020年甲公司收入是乙公司收入的多少倍？

A. 1.38倍
B. 1.42倍
C. 1.50倍
D. 1.56倍

题型4：混合增长率

例7： 2020年，某市实现外贸进出口总额3600亿元，同比增长10%。其中，出口额为2000亿元，同比增长8%。问该市2020年进口额的年增长率约是多少？

A. 11.5%
B. 12.5%
C. 13.0%
D. 14.5%

题型5：平均数增长率

例8: 2021年全国粮食总产量为68285万吨，比上年增加1336万吨，增长2.0%。全国粮食播种面积11763万公顷，比上年增加86万公顷，增长0.7%。问2021年全国粮食单位面积产量的增长率约为多少？

A. 1.1%
B. 1.3%
C. 1.8%
D. 2.7%

四、高频公式速查表

基础公式

公式名称	数学表达式	应用场景
增长率基本公式	$r = \frac{现期-基期}{基期}$	给出现期、基期求增长率
倍数关系	$\frac{现期}{基期} = 1+r$	增长率与倍数转换
基期推算	$基期 = \frac{现期}{1+r}$	给出现期、增长率求基期
现期推算	$现期 = 基期 \times (1+r)$	给出基期、增长率求现期

比较技巧

情况	方法	适用条件
倍数明显	比较 $\frac{现期}{基期}$	现期≥2倍基期
倍数不明显	比较 $\frac{增长量}{基期}$	现期≈1.1-1.5倍基期
特定增长率	错位相加法	10%、20%、50%等整数增长率

特殊关系

描述	数学含义	备注
A是B的n倍	$A = n \times B$	直接倍数关系
A比B多n倍	$A = (n+1) \times B$	易错点
翻n番	$现期 = 基期 \times 2^n$	翻一番=2倍，翻两番=4倍
n成	$n成 = \frac{n}{10}$	三成=30%

速算口诀

百分点计算：增速→高减低加；降幅→绝对值高减低加再加负号
倍数判断：明显看倍数，不明显看增速
负增长：下降率=负增长率，倍数=1-下降率

总结提示： 增长率问题的核心是理解"增长率 = 倍数 - 1"这一基本关系，掌握这个关系后，所有增长率相关的计算都会变得简单明了。在实际考试中，要特别注意题目中的关键词，如"是几倍"vs"增长几倍"，"增速"vs"降幅"等，避免概念混淆导致的失分。

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