数量关系
数量模版题
方程思想

第一课 方程思想

一、如何构建方程

方程关键点：等量关系

等量关系一：自身公式

总利润 = 总收入 −- 总成本； 工程量 = 效率 ×\times 时间； 路程 = 速度 ×\times 时间

例 某商店批发了100袋面包改良剂，已知每袋的进价是3.5元，总运费为100元，预计损耗 2% ，现以每袋5元的价格售出，则该批面包改良剂可获利润多少元？

  • A.39.2
  • B.40
  • C.49
  • D.50

解析 由于我们知道，总利润 = 总收入- 总成本，那么这道题目还给了和收入、成本相关的数据，于是我们选择围绕总利润 = 总收入- 总成本的等式关系构建方程。

总利润 = 总收入- 总成本 =5×(100−100×2%)−(3.5×100+100)=5×98−450=490−450=40= 5\times (100 - 100\times 2\%) - (3.5\times 100 + 100) = 5\times 98 - 450 = 490 - 450 = 40 元，所以选择B。

总结根据已知运算关系公式，结合题目所给数据信息，考虑是否可以进行方程运算得到新的信息。

等量关系二：题目设置等量关系

比如前后xx量相同，A是B的xx倍、xx分之一，A比B多xx、少xx等等。

例 某检修工作由李和王二人负责，两人如一同工作4天，剩下工作量李需要6天，或王需要3天完成。现李和王共同工作了5天，则剩下的工作李单独检修还需几天完成？

  • A.2
  • B.3
  • C.4
  • D.5

解析

设李、王的日工作效率分别为 L,WL, W（“份/天”），总工作量为 1。

已知：两人合做 4 天后，剩余工作要么李单独做 6 天完成，要么王单独做 3 天完成。 故有：

1−4(L+W)=6L=3W1-4(L+W)=6L=3W

由 6L=3W6L=3W 得 W=2LW=2L。

代入：

1−4(L+2L)=6L  ⇒  1−12L=6L  ⇒  18L=1  1-4(L+2L)=6L \;\Rightarrow\; 1-12L=6L \;\Rightarrow\; 18L=1 \; L=118W=19L=\frac{1}{18} \quad W=\frac{1}{9}

实际情况：李、王共同工作 5 天。 完成量：

5(L+W)=5 ⁣(118+19)=5⋅318=56.5(L+W)=5\!\left(\frac{1}{18}+\frac{1}{9}\right)=5\cdot\frac{3}{18}=\frac{5}{6}.

剩余量：

1−56=16.1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}.

由李单独完成所需时间：

剩余量L=16118=3 天.\frac{\text{剩余量}}{L}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{18}}=3\text{ 天}.

答案：还需要 3 天。

二、鸡兔同笼思想

列方程是快速应用题目信息得出思路的好办法。但一笔一划把方程写出来又比较费时间。所以我们转换一下思维，即可以快速对题干信息进行方程计算又避免无用功。

例 玻璃厂委托运输公司运送400箱玻璃。双方约定：每箱运费30元，如箱中玻璃有破损，那么该箱的运费不支付且运输公司需赔偿损失60元。最终玻璃厂共支付9750元，则此次运输中玻璃破损的箱子有：

A.25箱 B.28箱 C.27箱 D.32箱

方法一（方程法）

  • 设破损箱数为 xx，完好箱数为 400−x400-x。

  • 结算：完好每箱付 3030 元；破损该箱不付运费并赔偿 6060 元（等价于 −60-60 元）。

  • 玻璃厂实付：

    30(400−x)−60x=975030(400-x)-60x=9750

  • 化简：

    12000−90x=9750⇒90x=2250⇒x=2512000-90x=9750 \Rightarrow 90x=2250 \Rightarrow x=25

方法二（鸡兔同笼思想）

  • 若全完好，应付 400×30=12000400\times30=12000 元。
  • 每出现 1 箱破损，结算从“应付 +30+30”变为“应付 −60-60”，净少付 9090 元。
  • 现在实际只付 97509750 元，比全完好少付 12000−9750=225012000-9750=2250 元。
  • 破损箱数 =2250÷90=25=2250\div90=25（箱）。

校验

  • 完好 375375 箱付 375×30=11250375\times30=11250 元；
  • 破损 2525 箱赔 25×60=150025\times60=1500 元（抵扣）；
  • 净付 11250−1500=975011250-1500=9750 元，吻合。

答案：25 箱。

例 一群人坐车出去旅游，如果每辆车坐22人，还剩5人没位置。如果每辆车坐26人，则空出15个座位。问每辆车坐25人，空出多少个座位：

  • A.20
  • B.15
  • C.10
  • D.5

解法一（方程） 设有 xx 辆车、共 NN 人：

{N=22x+5N=26x−15⇒22x+5=26x−15⇒x=5,  N=22⋅5+5=115.\begin{cases} N=22x+5\\ N=26x-15 \end{cases} \Rightarrow 22x+5=26x-15 \Rightarrow x=5,\; N=22\cdot5+5=115.

每辆坐 25 人时，总座位 =25×5=125=25\times5=125，空位 =125−115=10=125-115=10 个。

解法二（差量法） 从每车 22 人改为 26 人，每车多 4 个座位，总体“多出来的座位”抵消了原来超出的 5 人并额外空出 15 个座位，故

4x=5+15=20⇒x=5.4x=5+15=20 \Rightarrow x=5.

再算空位：25×5−(22×5+5)=125−115=1025\times5- (22\times5+5)=125-115=10 个。

答案：空出 10 个座位。

例 小王上山每分钟走50米，下山每分钟走80米。他从山脚出发到达山顶后立刻原路下山，出发30分钟内一共走了1680米。问他走到山脚还要多少分钟？

  • A.8
  • B.9
  • C.10
  • D.12

推导：

  • 设山脚到山顶路程为 dd 米。上山速率 5050 m/min，下山速率 8080 m/min。

  • 30 分钟内已走路程：

    d+80(30−d50)=1680d + 80\left(30-\frac{d}{50}\right)=1680

    （先上到顶走了 dd，余下时间在下山）

  • 解得：

    d+2400−1.6d=1680⇒0.6d=720⇒d=1200 米d+2400-1.6d=1680 \Rightarrow 0.6d=720 \Rightarrow d=1200\text{ 米}

  • 上山用时 tup=1200/50=24t_\text{up}=1200/50=24 分；因此 30 分钟时已下山 66 分钟，走了 6×80=4806\times80=480 米。

  • 仍剩下山路程 1200−480=7201200-480=720 米，所需时间

    720/80=9 分钟.720/80=9\text{ 分钟}.

答：还要 9 分钟。

鸡兔同笼解法

  • 设山脚到山顶路程为 HH 米。上山速度 5050 米/分，下山速度 8080 米/分。

  • 若 30 分钟内尚未到顶，则路程应为 50×30=150050\times30=1500 米，但题给 16801680 米，矛盾 ⇒ 30 分钟时已到顶并在下山。

  • 设上山用时 H/50H/50 分，到顶后在 30 分钟内下山了 30−H5030-\frac{H}{50} 分钟：

    H⏟上山全程+80(30−H50)⏟下山已走=1680\underbrace{H}_{\text{上山全程}}+\underbrace{80\left(30-\frac{H}{50}\right)}_{\text{下山已走}}=1680

    化简得 H=1200H=1200 米。

  • 上山用时 1200/50=241200/50=24 分，下山全程需 1200/80=151200/80=15 分。

  • 30 分钟时已下山 30−24=630-24=6 分，还需 15−6=915-6=9 分到山脚。

校验：已走路程 =1200+80×6=1200+480=1680=1200+80\times6=1200+480=1680 米，吻合。

例 甲乙两个工程队共同修建一段长为2100千米的公路，甲队每天比乙队少修50千米，甲队先单独修3天，余下的路程与乙队合修6天完成，则乙队每天所修公路的长度是：

A.135千米 B.140千米 C.160千米 D.170千米

设乙队日修为 BB 千米，甲队日修为 AA 千米，则 A=B−50A=B-50。 甲先修 3 天：3A3A。余下用两队合修 6 天：6(A+B)6(A+B)。 由总长 2100 千米得：

3A+6(A+B)=21003A+6(A+B)=2100

代入 A=B−50A=B-50：

3(B−50)+6((B−50)+B)=2100⇒3B−150+6(2B−50)=21003(B-50)+6\big((B-50)+B\big)=2100 \Rightarrow 3B-150+6(2B-50)=2100 3B−150+12B−300=2100⇒15B=2550⇒B=170.3B-150+12B-300=2100 \Rightarrow 15B=2550 \Rightarrow B=170.

答案：170 千米/天。

校验：A=120A=120。甲先修 3×120=3603\times120=360 千米；余下 2100−360=17402100-360=1740 千米；合修日效率 120+170=290120+170=290 千米/天，6 天修 17401740 千米，吻合。

例某工厂有学徒工、熟练工、技师共80名，每天完成480件产品的任务。已知每天学徒工完成2件，熟练工完成6件，技师完成7件，且学徒工和熟练工完成的量相等，则该厂技师人数是熟练工人数的多少倍：

  • A.6
  • B.8
  • C.10
  • D.12

设学徒工、熟练工、技师人数分别为 A,S,TA,S,T。

已知：

{A+S+T=802A+6S+7T=4802A=6S (学徒与熟练完成量相等)\begin{cases} A+S+T=80\\ 2A+6S+7T=480\\ 2A=6S \ (\text{学徒与熟练完成量相等}) \end{cases}

由 2A=6S⇒A=3S2A=6S\Rightarrow A=3S。

代入人数总和：3S+S+T=80⇒4S+T=80⇒T=80−4S3S+S+T=80\Rightarrow 4S+T=80\Rightarrow T=80-4S。

代入产量方程：

2(3S)+6S+7T=480⇒12S+7T=480.2(3S)+6S+7T=480 \Rightarrow 12S+7T=480.

再代入 T=80−4ST=80-4S：

12S+7(80−4S)=480⇒12S+560−28S=480⇒−16S=−80⇒S=5.12S+7(80-4S)=480 \Rightarrow 12S+560-28S=480 \Rightarrow -16S=-80 \Rightarrow S=5.

则 T=80−4×5=60T=80-4\times5=60。

所求倍数：TS=605=12\dfrac{T}{S}=\dfrac{60}{5}=12。

答：技师人数是熟练工人数的 12 倍。

例现有浓度为 12%12\% 和 24%24\% 的盐水各若干克，将其混合后加入50克水，配制成丁浓度为 18%18\% 的盐水600克，则原 12%12\% 和 24%24\% 的盐水质量之比是：

A.6:5 B.1:1 C.5:6 D.4:7

设

  • 12 % 的盐水的质量为 aa g；
  • 24 % 的盐水的质量为 bb g。

把这两种盐水混合后再加入 50 g 纯水，得到 600 g、浓度为 18 % 的盐水。

列方程

  1. 总质量（包含盐和水）
a+b+50=600⟹a+b=550  (克)a+b+50=600\qquad\Longrightarrow\qquad a+b=550\;(\text{克})
  1. 盐的总量保持不变
0.12a+0.24b=0.18×600=108  (克)0.12a+0.24b=0.18\times600=108\;(\text{克})

把第二式除以 0.12，化成整数系数：

a+2b=900a+2b=900

求解

{a+b=550a+2b=900⇒  (a+2b)−(a+b)=b=900−550=350\begin{cases} a+b=550\\ a+2b=900 \end{cases} \Rightarrow\; (a+2b)-(a+b)=b=900-550=350 a=550−b=550−350=200a=550-b=550-350=200

比例

a:b=200:350=20050:35050=4:7a:b = 200:350 = \frac{200}{50}:\frac{350}{50}=4:7 12%盐水:24%盐水=4:7\boxed{12\% \text{盐水} : 24\% \text{盐水}=4:7}

三、不定方程

例 超市有两种不同价格的水果，5元一斤的国产水果和17元一斤的进口水果，若小明购买这两种水果恰好花了100元，则他买了（）斤国产水果。

  • A.2
  • B.3
  • C.4
  • D.5

解析 设小明购买了 x 斤国产水果和 y 斤进口水果。

根据题意，我们可以列出以下方程： 5x+17y=1005x + 17y = 100 其中，x 和 y 都必须是正整数，因为小明购买了两种水果，所以购买量不能为零或负数。

我们可以对这个二元一次方程进行分析。 首先，我们可以将方程改写为： 5x=100−17y5x = 100 - 17y 由于方程的左边 5x5x 是 5 的倍数，因此方程的右边 100−17y100 - 17y 也必须是 5 的倍数。 因为 100 本身是 5 的倍数，所以要使 100−17y100 - 17y 是 5 的倍数，那么 17y17y 也必须是 5 的倍数。

因为 17 和 5 是互质的（它们没有除 1 以外的公因数），所以 y 必须是 5 的倍数。

另外，由于水果的总价是100元，而进口水果的价格是17元一斤，所以购买的进口水果的重量 y 必须满足： 17y<10017y < 100 y<10017y < \frac{100}{17} y<5.88y < 5.88 结合以上两个条件，y 必须是一个小于 5.88 的正整数，并且是 5 的倍数。那么 y 唯一可能的值就是 5。

现在我们将 y = 5 代入原方程： 5x+17(5)=1005x + 17(5) = 100 5x+85=1005x + 85 = 100 5x=100−855x = 100 - 85 5x=155x = 15 所以，小明购买了 3 斤国产水果和 5 斤进口水果。

我们可以验证一下这个结果： 3 斤国产水果的价格是 3×5=153 \times 5 = 15 元。 5 斤进口水果的价格是 5×17=855 \times 17 = 85 元。 总花费是 15+85=10015 + 85 = 100 元，符合题目要求。

因此，小明买了 3 斤国产水果。

正确答案是 B。

快速解法： 代入选项判断是否整除即可

不定方程常考考点

对于 ax+by=cax + by = c 这样的不定方程

若a与c存在公因子d，则by也必然是d的倍数

例 某个班级组织51个学生到公园划船。假设每只大船可以坐5个人，每只小船可以坐3个人，如果要求每只船都要坐满，那么有（）种不同的租船方案。

  • A.1
  • B.2
  • C.3
  • D.4

解析 设大船数量为x，小船数量为y，则有方程： 5x + 3y = 51（其中x、y为非负整数）

我们可以将方程变形为： y = (51 - 5x) / 3

为了使y为整数，(51 - 5x)必须能被3整除。因为51能被3整除(51 ÷ 3 = 17)，所以5x也必须能被3整除。由于5和3互质，x必须是3的倍数。

同时，x的取值范围应满足5x ≤ 51，即x ≤ 10.2，所以x最大为10。

因此，x的可能值为：0, 3, 6, 9

我们分别计算对应的y值：

  1. 当x = 0时： y = (51 - 0) / 3 = 17 方案：0只大船，17只小船

  2. 当x = 3时： y = (51 - 15) / 3 = 12 方案：3只大船，12只小船

  3. 当x = 6时： y = (51 - 30) / 3 = 7 方案：6只大船，7只小船

  4. 当x = 9时： y = (51 - 45) / 3 = 2 方案：9只大船，2只小船

当x = 12时，y为负数，不符合实际情况。

因此，共有4种不同的租船方案。

不定方程技巧

数量运算是单选题，不定方程可能有多个解，但往往只要找到符合题意的情况即可选择选项走人，无需验证剩下解。

赋零法

适用条件： 当不定方程的未知数不限制为整数时，方程组通常有无数个解。

核心原理： 此类题目不会直接求某个未知数的具体值，而是求某个由多个未知数组成的表达式的值。由于该表达式的值不受具体解的影响（即无论取哪一组解，表达式的值都相同），我们只需要找到任意一组解即可。

操作方法： 为了简化计算，我们可以假设其中一个未知数为0，这样可以减少一个未知数，使方程组更容易求解。

注意事项： 选择赋零的未知数时，应优先选择系数较复杂或计算不便的未知数。

例题1： 去文具店购买文具用品，已知买7盒水彩笔、3瓶墨水、1个笔记本共需要50元，买10盒水彩笔、4瓶墨水、1本笔记本共需要69元。问若买2盒水彩笔、2瓶墨水、2本笔记本共需要多少钱？

A. 24元　　B. 26元　　C. 28元　　D. 30元

解析：

  1. 设水彩笔1盒为 xx 元，墨水1瓶为 yy 元，笔记本1本为 zz 元
  2. 根据题意，列出方程组： 7x+3y+z=507x + 3y + z = 50 10x+4y+z=6910x + 4y + z = 69
  3. 由于 xx、yy、zz 不一定为整数，方程组有无数组解，可以使用赋零法
  4. 假设 x=0x = 0，则方程组简化为： 3y+z=503y + z = 50 4y+z=694y + z = 69
  5. 解得：y=19y = 19，z=−7z = -7
  6. 因此，2盒水彩笔、2瓶墨水、2本笔记本共需要： 2x+2y+2z=2×0+2×19+2×(−7)=0+38−14=242x + 2y + 2z = 2 × 0 + 2 × 19 + 2 × (-7) = 0 + 38 - 14 = 24 元

答案： A

例题2： 老张买学习和生活用品赠给山区贫困小学生。3个笔盒、2个皮球和4个杯子一共89元，4个笔盒、3个皮球和6个杯子一共127元。则一个笔盒多少元？

A. 10　　B. 11　　C. 12　　D. 13

解析：

  1. 设1个笔盒为 xx 元，1个皮球为 yy 元，1个杯子为 zz 元
  2. 根据题意，列出方程组： 3x+2y+4z=893x + 2y + 4z = 89 4x+3y+6z=1274x + 3y + 6z = 127
  3. 题目求 xx 的值，使用赋零法，假设 y=0y = 0
  4. 方程组简化为： 3x+4z=893x + 4z = 89 ① 4x+6z=1274x + 6z = 127 ②
  5. ①式乘以1.5得：4.5x+6z=133.54.5x + 6z = 133.5 ③
  6. ③式减去②式：0.5x=6.50.5x = 6.5，解得 x=13x = 13

答案： D

疑惑解答： 为什么3个未知数、2个方程的不定方程，xx 的值可以确定？

原因分析： 虽然表面上是3个未知数、2个方程，但仔细观察系数关系：

  • 第一个方程：3x+2y+4z=893x + 2y + 4z = 89
  • 第二个方程：4x+3y+6z=1274x + 3y + 6z = 127

注意到 yy 和 zz 的系数比例相同（24=36=12\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}），可以重新组合：

  • 3x+2(y+2z)=893x + 2(y + 2z) = 89
  • 4x+3(y+2z)=1274x + 3(y + 2z) = 127

设 a=y+2za = y + 2z，则方程组变为：

  • 3x+2a=893x + 2a = 89
  • 4x+3a=1274x + 3a = 127

这实际上是2个未知数、2个方程的确定方程组，可以唯一确定 xx 和 aa 的值，但无法单独确定 yy 和 zz 的值。

拓展思考： 如果题目问"一个皮球和两个杯子一共需要多少钱"，答案同样是确定的，这正体现了不定方程中某些组合表达式值的不变性。

例题3： 现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需多少元？

A. 50　　B. 100　　C. 150　　D. 200

解析：

  1. 设1件甲为 xx 元，1件乙为 yy 元，1件丙为 zz 元
  2. 根据题意，列出方程组： x+3y+7z=200x + 3y + 7z = 200 ① 2x+5y+11z=3502x + 5y + 11z = 350 ②
  3. 使用赋零法，假设 y=0y = 0（选择 yy 是因为 xx 的系数有整数倍关系）
  4. 方程组简化为： x+7z=200x + 7z = 200 ① 2x+11z=3502x + 11z = 350 ②
  5. ①式乘以2得：2x+14z=4002x + 14z = 400 ③
  6. ③式减去②式：3z=503z = 50，解得 z=503z = \frac{50}{3}
  7. 代入①式：x=200−7×503=2503x = 200 - 7 × \frac{50}{3} = \frac{250}{3}
  8. 因此：x+y+z=2503+0+503=100x + y + z = \frac{250}{3} + 0 + \frac{50}{3} = 100 元

快速解法： 2×②−3×①2 × ② - 3 × ① 得到：x+y+z=100x + y + z = 100

答案： B

方法总结： 非整数型不定方程的本质是通过调整方程系数，构造出未知数之间的特殊线性关系。在公务员考试中，由于时间限制和选择题的特点，我们无需严格证明这种关系的数学原理，只需运用赋零法快速找到一组特解，即可得出正确答案。

数量核心公式和差倍比