第十章 概率问题

一、简单古典概率

概率 = $\frac{\text{限定条件下的度量}}{\text{已定事实下的度量}}$

例【模版题】 箱子里放有10个球, 其中黑球3个, 白球3个, 黄球4个, 从中任取1个球, 恰好是一个黄球的概率是（）。

解析 概率 $=$ 限定条件下的样本数 $=$ 黄球个数 $=$ $\frac{\text{已定事实下的样本数}}{\text{可以取到的球个数}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

例【模版题】 箱子里放有10个球, 其中黑球3个, 白球3个, 黄球4个, 从中任取3个球, 恰好是一个黄球, 一个白球, 一个黑球的概率是（）。

A. $\frac{4}{15}$
B. $\frac{3}{10}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{7}{30}$

解析 概率 $=$ 限定条件下的样本数 $=$ 1黄球 $+$ l白球 $+1$ 黑球情况数 $=$ $\frac{\mathrm{C}_4^1\times\mathrm{C}_3^1\times\mathrm{C}_2^1}{\mathrm{C}_{10}^3} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$ 所以选择 $\mathrm{B}$ 。

例【模版题】 某单位举办年会有4个节目, 现确定出场顺序为小品、歌曲、舞蹈和相声, 现临时增加朗诵和魔术两个节目, 在保持原节目相对出场顺序不变的情况下, 朗诵和小品相邻的概率有多大?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{2}{3}$

解析一：概率 = $\frac{\text{限定条件下的样本数}}{\text{已定事实下的样本数}} = \frac{\text{朗诵和小品相邻位置情况数}}{\text{所有位置情况数}}$

$C_2^1$（朗诵在小品旁边2个位置放入保证相邻）$\times C_5^1$（魔术在5个节目6个空中除了朗诵小品之间的空的其他5个空中插入）= $\frac{C_2^1 \times C_5^1}{C_6^1 \times C_5^1} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

所以选择 B。

解析二：先任意空位插入魔术节目，由于不管插在哪里，都不会影响后续朗诵小品相邻的概率，所以不用考虑魔术节目的具体位置。

朗诵小品相邻的概率 = $\frac{\text{限定条件下的样本数}}{\text{已定事实下的样本数}} = \frac{\text{朗诵和小品相邻位置情况数}}{\text{朗诵所有位置情况数}} = \frac{C_2^1}{C_6^1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

所以选择 B。

正难则反

概率 $= 1-$ 反面情况发生概率

例【模版题】 某小型公司有六名员工，男女各半，从中随机挑选两人外出培训，那么至少有一位女员工参加培训的概率（）。

A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

解析：至少一名女员工的情况有两种：①1男1女 ②0男2女；而反面情况没有女员工的情况只有一种：①2男0女，所以我们从反面情况考虑。

P(反面情况) = $\frac{C_3^2}{C_6^2} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

所以 P(正面情况) = $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

所以选择 D。

二、条件概率

$P(AB) = P(A) \times P(B|A)$

互斥事件概率相乘：因为互斥事件A、B互不影响，所以 $P(B|A) = P(B)$，所以两件事情A、B同时发生的概率为：$P(AB) = P(A) \times P(B)$

例【模版题】 小陈上班要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率分别是 30%、40%、50%，则他上班至少遇到1个红灯的概率是：

A.35% B.55% C.65% D.79%

解析：正面情况较多，考虑反面情况小陈上班遇到红灯个数为0的概率。

• 第一个路口不是红灯的概率 = $1 - 30\% = 70\%$
• 第二个路口不是红灯的概率 = $1 - 40\% = 60\%$
• 第三个路口不是红灯的概率 = $1 - 50\% = 50\%$

3件事情互斥，概率互不影响，所以上班没有遇到红灯的概率 = $70\% \times 60\% \times 50\% = 21\%$

所以正面情况至少遇到一个红灯的概率 = $1 - 21\% = 79\%$

选择 D。

例【模版题】 互斥情况概率相加：一件事情C在互斥情况A、情况B下发生概率

$P(C) = P(A)P(C|A) + P(B)P(C|B)$

例【模版题】 抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是（）

A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{5}$

解析：红色骰子为4的概率 = $\frac{1}{2}$，为6的概率 = $\frac{1}{2}$

当红色骰子点数是4时，想要乘积大于20，黄色骰子点数只能是6，概率 = $\frac{1}{6}$

当红色骰子点数是6时，想要乘积大于20，黄色骰子点数只能是4或者5或者6，概率 = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

所以两颗骰子的点数之积大于20的概率 = $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

所以选择 B。

位置关系问题

原理

一件事情C在互斥情况A、情况B下发生概率 $P(C) = P(A)P(C|A) + P(B)P(C|B)$

如果 $P(C|A) = P(C|B)$，$P(A) + P(B) = 1$，则 $P(C) = P(C|A) = P(C|B)$

例【模版题】 某学校举行迎新篝火晚会，100名新生随机围坐在篝火四周，其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：

A. $\frac{2}{97}$
B. $\frac{2}{98}$
C. $\frac{2}{99}$
D. $\frac{2}{100}$

解析：不论小张坐在哪里 $[P(A) + P(B) = 1]$，小李与其相邻的概率都 = $\frac{2}{99}$，所以他俩坐在一起的概率 = $\frac{2}{99}$。

例【模版题】 某单位工会组织桥牌比赛，共有8人报名，随机组成4队，每队2人。那么，小王和小李恰好被分在同一队的概率是：

A. $\frac{1}{7}$
B. $\frac{1}{14}$
C. $\frac{1}{21}$
D. $\frac{1}{28}$

解析：不论小王被分在哪一队，小李和他同队的概率都 = $\frac{1}{7}$，所以他俩同队的概率 = $\frac{1}{7}$，选择 A。

例【模版题】 五人排成一列，小明和小李相邻的概率是多少？

A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{2}$

解析：此题中，小明在队列两端与中间情况下小李和其相邻的概率并不相同 $[P(C|A) \neq P(C|B)]$，所以分类讨论条件概率。

$P(C) = P(A)P(C|A) + P(B)P(C|B) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

所以选择 C。

三、容斥型概率

例【模版题】 根据历年气象资料，某地四月份吹东风的概率是 $\frac{9}{30}$，下雨的概率是 $\frac{11}{30}$，既吹东风又下雨的概率是 $\frac{8}{30}$。则在吹东风的条件下下雨的概率是（）

A. $\frac{9}{11}$
B. $\frac{8}{11}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{8}{9}$

解析：$P(\text{东风且下雨}) = P(\text{东风}) \times P(\text{下雨}|\text{东风})$

所以 $\frac{8}{30} = \frac{9}{30} \times P(\text{下雨}|\text{东风})$

$P(\text{下雨}|\text{东风}) = \frac{8}{30} \div \frac{9}{30} = \frac{8}{9}$

所以选择 D。

例 财务部推荐本部门员工小王和小李参加公司最佳员工评选。若小王、小李成功入选的概率分别为0.6和0.5，两人都成功入选的概率为0.25，则财务部有员工被评为公司最佳员工的概率为：

A. 0.6
B. 0.75
C. 0.8
D. 0.85

解析：小王、小李同时入选的概率是 $0.25 \neq 0.6 \times 0.5$，说明他们入选的事情不相斥，不符合相乘关系。所以这是一道容斥型概率，画韦恩图分析。

根据图形关系，有人入选的概率 = $P(\text{小王}) + P(\text{小李}) - P(\text{小王且小李})$

$= 0.6 + 0.5 - 0.25 = 0.85$

所以选择 D。

四、其他度量下的概率

概率 = $\frac{\text{限定条件下的度量}}{\text{已定事实下的度量}}$

一维轴——长度占比

例【模版题】 出租车司机李师傅有午睡的习惯，一天他睡午觉醒来，发现手机没电，手表停了，于是他只能打开收音机等待交通电台整点报时。如果他等待报时时间不超过15分钟，则这种可能性的大小为：

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$

解析：每个时刻开始等待的概率相同，我们将原概率问题转变度量为开始时间的概率问题。要想等到整点报时，则开始时间必须在45分-60分之间15分钟，而开始时间一共有60分钟的样本，所以概率 = $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$，所以选择 C。

这是一个典型的几何概率问题。

我们可以把从一个整点到下一个整点之间的60分钟看作是所有可能的时间点。

• 所有可能性： 李师傅醒来的时间点可以是这60分钟里的任意一个时刻。所以总的可能性区间是60分钟。
• 满足条件的可能性： 要想等待报时的时间不超过15分钟，他必须在每个小时的最后15分钟内醒来（例如，在12:45到13:00之间）。这样，他等待的时间就在0到15分钟之间。所以，满足条件的可能性区间是15分钟。

因此，这种可能性的大小为：

可能性 = (满足条件的可能性区间) / (所有可能性的总区间)

可能性 = 15分钟 / 60分钟 = 1/4

所以，他等待报时时间不超过15分钟的可能性大小为 1/4。

二维图——面积占比

例：在一块边长为20米的正方形土地中随机选择1个点，则选中的点与这块土地4个顶点的距离均大于10米的概率在以下哪个范围内？

A. 不到0.2
B. 0.20.25之间
C. 0.250.3之间
D. 超过0.3

解析：如图所示围绕正方形4个顶点作半径为10米的圆弧，则只有中间空白部分区域的点可以满足限定条件"与4个定点距离均大于10米"。

所以概率 = $\frac{20 \times 20 - \pi \times 10^2}{20 \times 20} = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 1 - 0.785 = 0.215$

所以选择 B。

二维图——线性规划概率

当存在两个变化量时，概率问题就需要转化为 $x-y$ 图像计算符合条件面积占比。

例：某公司职员预约某快递员上午9点30分到10点在公司大楼前取件，假设两人均在这段时间内到达，且在这段时间到达的概率相等。约定先到者等后到者10分钟，过时交易取消。快递员取件成功的概率为：

A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{5}{9}$
D. $\frac{7}{9}$

解析：将快递员、公司职员到达时间的分钟值分别转变为 $x$ 值与 $y$ 值，从而将两人的到达时间的无数个样本转化为 $(x, y)$ 形式的无数个点。

根据题意可知，既定事实为 $x, y \in [30, 60]$，两人约定好的到达时间样本是 $30 \times 30$ 的正方形。

限定条件下 $|x - y| \leq 10$，即 $x - y \leq 10$ 且 $y - x \leq 10$，则 $y \leq x + 10, y \geq x - 10$，所以符合限定条件的样本范围为图中阴影部分。

所以符合限定条件概率 = $\frac{\text{限定条件下阴影部分面积}}{\text{既定事实正方形部分面积}} = \frac{30 \times 30 - 2 \times \frac{1}{2} \times 20 \times 20}{30 \times 30} = \frac{5}{9}$

所以选择 C。

例：将一长度为L的线段任意截成三段，设 $p_1$ 为所截的三线段能构成三角形的概率，$p_2$ 为所截的三线段不能构成三角形的概率，则下列选项正确的是：

A. $p_1 = p_2$
B. $p_1 > p_2$
C. $p_1 < p_2$
D. 不能确定 $p_1$ 与 $p_2$ 的大小关系

解析一：三条线段可以构成三角形的充要条件为最长边 < 两短边之和，所以此题关键点在于三条线段的长度关系。截为三段需要两刀，所以长度关系相当于这两刀的位置关系。

假设第一刀落点为A，第二刀落点为B，则AB同侧概率为 $\frac{1}{2}$，不同侧概率为 $\frac{1}{2}$。

当AB同侧时，另一侧线段长度 $\geq 0.5L \geq$ 剩下两线段之和，100%无法构成三角形。

当AB不同侧时，存在概率AB长度 $\geq 0.5L$，无法构成三角形概率 $P_3 > 0\%$。

所以 $p_2 = \frac{1}{2} \times 100\% + \frac{1}{2} \times P_3 > 50\%$，所以 $P_1 = 1 - P_2 < 50\%$，所以 $p_1 < p_2$，选择 C。

解析二：假设 $L = 1$，设三条线段的长度分别为a、b、1-a-b，则既定事实下，a、b、1-a-b $\in (0, 1)$，即 ①$0 < a < 1$，$0 < b < 1$，$b < 1 - a$。

由三角形定理"两边之和大于第三边"可用： ②$a + b > 1 - a - b$； ③$a + 1 - a - b > b$； ④$b + 1 - a - b > a$；

化简得到： ②$b > \frac{1}{2} - a$； ③$b < \frac{1}{2}$； ④$a < \frac{1}{2}$。

根据①得到既定事实样本范围大三角形 $p_1 + p_2$；再根据②③④得到限定条件下样本范围小三角形 $P_1$，所以 $P_1 = \frac{\text{限定条件下小三角形部分面积}}{\text{既定事实大三角形部分面积}} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times 1 \times 1} = \frac{1}{4}$，所以 $p_2 = 1 - p_1 = \frac{3}{4}$，所以 $p_1 < p_2$，选择 C。

五、概率与排列组合

限定条件下的样本数：概率 = $\frac{\text{限定条件下的样本数}}{\text{既定事实下的样本数}}$

限定条件下的样本数 = 既定事实下的样本数 × 概率

例甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者。若甲去羽毛球场，不同的安排方法共有多少种？

A.16 B.24 C.36 D.60

解析：由于甲去羽毛球场的概率很明显 = $\frac{1}{4}$，所以先不考虑此条件，先算出既定事实下的样本数。

5人去4个场地，每个场地至少1人，则名额为2111，先确定名额有 $C_4^1$ 种情况，然后分配人员，有 $C_5^2 \times C_3^1 \times C_2^1 = 60$ 种安排方法，所以一共有 $C_4^1 \times 60 = 240$ 种安排方法。

则限定条件下的样本数 = 既定事实下的样本数 × 概率 = $240 \times \frac{1}{4} = 60$ 种，所以选择 D。

例 中国空间站主体由天和核心舱、问天实验舱、梦天实验舱构成。某次实验需要5名宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验舱和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有多少种？

A.72 B.88 C.100 D.144

解析：甲去问天实验舱或者梦天实验舱的概率 = $\frac{2}{3}$，计算不考虑此条件的既定事实情况数：

5个人去3个场地，每个场地至少1人，则名额为221或者311。

如果是221，则确定名额有 $C_3^1$ 种情况，分配名额有 $C_5^2 \times C_3^2$ 种安排方法，所以有 $C_3^1 \times C_5^2 \times C_3^2 = 90$ 种安排方法。

如果是311，则确定名额有 $C_3^1$ 种情况，分配名额有 $C_5^3 \times C_2^1$ 种安排方法，所以有 $C_3^1 \times C_5^3 \times C_2^1 = 60$ 种安排方法。

所以一共有 $90 + 60 = 150$ 种安排方法。其中有 $\frac{2}{3}$ 即 $150 \times \frac{2}{3} = 100$ 种安排方法是甲去问天实验舱或者梦天实验舱的安排方法。所以选择 C。

六、概率倒推

根据数量可以推概率, 从概率也可以推得数量之间的关系

例在一个不透明的布袋中, 有红色、黑色、白色的小球共 60 个。小明通过足够多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的概率分别为 $15\%$ 、 $40\%$ 。那么, 口袋中白色球的个数最可能是:

A.25 B.26 C.27 D.29

解析：假设白球个数为 $n$，而摸到白球概率 = $100\% - 15\% - 40\% = 45\%$，所以 $\frac{n}{60} = 45\%$，$n = 60 \times 45\% = 27$，所以选择 C。

例：幼儿园老师设计了一个摸彩球游戏，在一个不透明的盒子里混放着红、黄两种颜色的小球，它们除了颜色不同，形状、大小均一致。已知随机摸取一个小球，摸到红球的概率为三分之一。如果从中先取出3红7黄共10个小球，再随机摸取一个小球，此时摸到红球的概率变为五分之二，那么原来盒中共有红球多少个？

A.5 B.10 C.15 D.20

解析：刚开始摸到红球概率为三分之一，说明红球黄球总数为红球个数三倍，所以假设红球原来有 $x$ 个，黄球原来有 $2x$ 个，总共 $3x$ 个。

所以取出3红7黄后分别还有 $x - 3$ 个与 $2x - 7$ 个，总共 $3x - 10$ 个，此时摸到红球概率 = $\frac{x - 3}{3x - 10} = \frac{2}{5}$，解得 $x = 5$，所以原来有红球5个，选择 A。

例：某商店促销，购物满足一定金额可进行摸球抽奖，中奖率100%。规则如下：抽奖箱中有大小相同的若干个红球和白球，从中摸出两个球，如果都是红球，获一等奖；如果都是白球，获二等奖；如果是一红一白，获三等奖。假定一、二、三等奖的概率分别为0.1、0.3、0.6，那么抽奖箱中球的个数为：

A.5 B.6 C.7 D.8

解析一：假设红球 $m$ 个，白球 $n$ 个，因为三种奖概率分母样本数相同都是 $C_{m+n}^2$，所以分子样本数之比 $C_m^2 : C_n^2 : C_m^1 C_n^1 =$ 概率比 1:3:6，$\frac{m(m-1)}{2} : \frac{n(n-1)}{2} : mn = 1:3:6$ 即 $m(m-1) : n(n-1) : 2mn = 1:3:6$，消除同类项得到 $(m-1) : n = 1:3$，$(n-1) : m = 1:1$，解得红球 $m = 2$，白球 $n = 3$，所以一共有 $2 + 3 = 5$ 个球。

解析二：一等奖的概率为0.1即 $\frac{1}{10}$，而此概率的分子分母样本数一定都是整数，所以总情况数一定是10的倍数。假设球的个数为 $n$，则总情况数 $C_n^2$ 是10的倍数，代入选项，只有A选项 $n = 5$ 满足，所以选择 A。