数论问题

1. 基本整除性质

• 被2整除的特征：尾数为0、2、4、6、8（偶数）
• 被4、8、16整除的特征：看后2、3、4位
• 被3或9整除的特征：看所有数字和
• 被5整除的特征：尾数为5、0
• 被25、125整除的特征：看后2、3位
• 被11整除的特征：看（奇数位数和 - 偶数位数和）

2. 同余的定义与性质

定义

如果 $a$、$b$ 除以 $m(\geqslant 1)$ 所得的余数相同，那么称 $a$、$b$ 对模 $m$ 同余，记作 $a\equiv b\pmod{m}$。否则，称 $a$、$b$ 对模 $m$ 不同余，记作 $a\not\equiv b\pmod{m}$。

性质 1

$a\equiv b\pmod{m}$ 的充要条件是 $m\mid a - b$（即 $m$ 能整除 $a - b$ ）。

性质 2

若 $a\equiv b\pmod{m}$，$c\equiv d\pmod{m}$，则：

• $a + c\equiv b + d\pmod{m}$
• $a - c\equiv b - d\pmod{m}$
• $ac\equiv bd\pmod{m}$

证明（以 $ac\equiv bd\pmod{m}$ 为例 ）

要证 $ac\equiv bd\pmod{m}$，根据性质 1，只需证明 $m\mid ac - bd$。

对 $ac - bd$ 变形：

n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k}

d(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_k+1)

\begin{aligned} 7x-10y&=86\ 7(8+10t)-10y&=86\ 56+70t-10y&=86\ -10y&=86-56-70t\ -10y&=30-70t\ 10y&=70t-30=10(7t-3) \end{aligned}