第二章 和差倍比

一、正比关系

$\frac{a}{b}$ 为定值，a与b的关系便是正比关系，此时a越大、b越大，a越小，b越小。$A = B \times C$，C不变，A与B成正比关系。

例题： 有家早餐店每天早上卖粥三块钱一碗，八点之前卖出去20碗，收入60元。到了九点的时候，统计发现卖出去80碗了。那么这家早餐店八点到九点之间卖粥收入多少元？

• A. 240
• B. 210
• C. 180
• D. 150

解析： 收入 = 销量 × 售价，售价不变，所以销量与收入成正比关系。八点到九点之间销量 = 80 - 20 = 60 碗，是20碗的3倍，所以收入也是3倍 = 60 × 3 = 180 元，所以选择C。

二、反比关系

$a \times b$ 为定值，a与b的关系便是反比关系，此时a越大、b越小，a越小，b越大。a变成n倍，b就变为 $\frac{1}{n}$ 倍。

$A = B \times C$，A不变，B与C成反比关系。

例题： 甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢 $75\%$，骑车速度比公交慢 $50\%$。如果一个人坐公交车从甲地到乙地，再从乙地步行到甲地，一共用了一个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要多长时间？

• A. 10分钟
• B. 20分钟
• C. 30分钟
• D. 40分钟

解析： 根据题意步行、骑车、公交速度比为1：4：8，从甲到乙和从乙到甲路程相同，所以时间速度成反比，速度比为8：1，时间比则为1：8，时间和为90分钟，所以坐公交从甲到乙需要 $\frac{90}{1 + 8} \times 1 = 10$ 分钟，而骑车速度是公交车一半，所以骑车从甲到乙需要20分钟，选择B。

方程法

令

• 公交车的速度为 $v_b$，
• 骑自行车的速度为 $v_c$，
• 步行的速度为 $v_w$。

1. 速度之间的关系

题目说：

• 步行速度比骑车慢 $75\%$：

  $$v_w = v_c\,(1-0.75)=0.25\,v_c .$$

• 骑车速度比公交车慢 $50\%$：

  $$v_c = v_b\,(1-0.50)=0.5\,v_b .$$

于是

2. 已知行程的时间

从甲地坐公交到乙地，再从乙地步行回甲地共用了 $1.5$ 小时，即

把 $v_w=0.125\,v_b$ 代入：

于是

这就是公交车从甲到乙所需的时间。

3. 求骑车所需的时间

骑车的速度是公交车速度的0.5：

因此，骑自行车从甲地到乙地需要 20 分钟。

反比关系之公倍数

$A = B \times C$ 的题目关系中，比如行程 = 速度 × 时间，如果甲乙速度比是 $m : n$，则时间比为n：m，为了计算的简洁，我们都会希望各个数据是整数，所以我们只要找到 $m$ 和 $n$ 的公倍数比如 $m \times n$ 赋值给行程，m和n分别赋值给甲乙的速度，则甲乙的时间就分别是 $\frac{m \times n}{n}$ 和 $\frac{m \times n}{m}$，即n和m。

例题： 一批零件，小王单独做需要50天加工完，小李单独做需要75天加工完。为了尽快完成任务，两人合作加工零件，中间小李休息了几天，最后共用了40天把这批零件加工完，那么小李休息了多少天？

• A. 25
• B. 3
• C. 20
• D. 15

解析：

设总工作量为最小公倍数 150（单位件）。 (150是 50和 75的最小公倍数)

• 小王效率：$150/50=3$ 件/天
• 小李效率：$150/75=2$ 件/天

总用时 40 天，小王全程工作，做了：$40 \times 3 = 120$ 件。 还剩 $150 - 120 = 30$ 件由小李完成。 小李做 $30$ 件需要天数：$30 \div 2 = 15$ 天。 因此小李休息天数：$40 - 15 = 25$ 天。

检验： 合做 15 天的总效率 $3+2=5$ 件/天，共 $15\times 5=75$ 件； 再加上小王单干的 25 天 $25\times 3=75$ 件，合计 $75+75=150$ 件，正确。

三者反比关系如何计算公倍数

1. 直接相乘

若ABC三个队分别做一个工程量相同的工程，他们效率分别为3、4、5，我们便可以假设工程量 $= 3 \times 4 \times 5 = 60$

2. 去除共同因子部分

若ABC三个队分别做一个工程量相同的工程，他们效率分别为3、4、8，因为4是8的因子（$8 = 4 \times 2$），我们便可以假设工程量为 $3 \times 8 = 24$

3. 提取最小公倍数

将数分别拆解为质数乘积，取各质数最高幂次相乘

5、8、10的最小公倍数怎么计算？

$5 = 5$，$8 = 2 \times 2 \times 2$，$10 = 2 \times 5$

出现两个质数2、5，其中2在单个数据种的最高幂次为3（出现了3次），其余均为1次，所以最小公倍数 $= 2^{3} \times 5 = 40$

易错点

若甲：乙：丙 $= a : b : c$ 则其反比 $\neq c : b : a$ 其反比 $= \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = bc : ac : ab$

例题： 一项工程，甲单独完成需要15天，乙单独完成需要30天，丙单独完成需要60天，如果按照甲乙丙的顺序交替进行每人做一天，那么需要（）天能完成。

• A. 25
• B. 26
• C. 27
• D. 28

解析： 甲乙丙时间比为15:30:60，而60是15和30的倍数，所以赋值总工程量为60，则甲乙丙效率分别为4、2、1，交替工作则每3天可以完成 $4 + 2 + 1 = 7$ 的工作量。$60 \div 7 = 8 \cdots 4$，即8个3天周期 + 最后4的工程量由甲1天做完，需要 $8 \times 3 + 1 = 25$ 天，所以选择A。

例题： 甲乙丙三人完成同一幅拼图的时间分别需要1小时、1.2小时、1.5小时。现在有两幅拼图需要甲、乙完成，两人同时开始，丙刚开始帮助甲拼拼图，后来又帮助乙拼，最后两个拼图同时完成。问：丙分别帮助甲、乙多长时间？

• A. 0.1小时，0.3小时
• B. 0.3小时，0.5小时
• C. 0.5小时，0.6小时
• D. 0.6小时，0.2小时

解析： 甲乙丙三人同一工程量时间比为1:1.2:1.5，则其效率比为 $1.2 \times 1.5 : 1 \times 1.5 : 1 \times 1.2 = 1.8 : 1.5 : 1.2 = 6 : 5 : 4$，赋值其效率为6、5、4，则一幅拼图工程量 $= 6$，两幅拼图三人一起完成，所以用时 $= \frac{6 \times 2}{6 + 5 + 4} = \frac{12}{15} = 0.8$ 小时，排除A、C。且因为甲效率更高，所以丙需要帮乙更多才能同时完成，排除D，所以选择B。

例题： 某单位需要搬家，可以使用甲、乙、丙三个搬家公司。单独完成该搬家任务，甲需要3天，乙需要4天，丙需要12天；搬家费用分别为甲1000元/天，乙850元/天，丙350元/天。要求在2天内搬完，最少需要花费多少元？（搬家不足一天按一天计算）

• A. 3200
• B. 3400
• C. 3550
• D. 3700

解析： 甲乙丙时间比为3:4:12，所以效率比为 $\frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{12} = 4:3:1$。由于工程量恒定，花费最低则需要用单位效率单价最低的队伍。甲 $= \frac{1000}{4} = 250$，乙 $= \frac{850}{3} ≈ 283.3$，丙 $= \frac{350}{1} = 350$，则单价上甲 < 乙 < 丙，所以尽量用甲再用乙再用丙。总工程量 $= 3 \times 4 = 12$，甲两天完成 $2 \times 4 = 8$，剩余4交给乙一天做不完，与其再加1天乙不如1天乙 + 1天丙正好完成费用低，所以最低费用 $= 1000 \times 2 + 850 + 350 = 3200$，所以选择A。

详细思路

1. 化整为“份” 设整单任务为 12 份（最小公倍数）。

   • 甲效率：$1/3$ → 4 份/天，费用 1000 元/天 → 每份成本 $1000/4=250$ 元/份
   • 乙效率：$1/4$ → 3 份/天，费用 850 元/天 → 每份成本 $850/3\approx 283.33$ 元/份
   • 丙效率：$1/12$ → 1 份/天，费用 350 元/天 → 每份成本 350 元/份 单位成本排序：甲（最便宜） < 乙 < 丙。

2. 两天内完成且“按天计费” ⇒ 每家公司可用 0、1、2 天（可并行） 因甲单位成本最低，先把甲用满 2 天：完成 $8$ 份，花费 2000 元；剩余 4 份。

3. 用乙、丙补齐剩余 4 份（费用尽量低） 可选补法（受“至少一天计费、至多 2 天”限制）：

   • 乙 1 天 + 丙 1 天：$3+1=4$ 份，费用 $850+350=1200$ 元 ✅（最便宜）
   • 乙 2 天：$6$ 份，1700 元（多花）
   • 乙 1 天 + 丙 2 天：$3+2=5$ 份，$850+700=1550$ 元（更贵）
   • 丙 2 天：$2$ 份（不够）

4. 最优组合与校验

   • 组合：甲 2 天 + 乙 1 天 + 丙 1 天
   • 工作量：$8+3+1=12$ 份（正好完成）
   • 费用：$2000+850+350=\mathbf{3200}$ 元（在所有可行方案中最小）

可执行安排示例：在两天内让甲连续工作 2 天；乙任意 1 天；丙任意 1 天（可与乙同一天或不同天，不影响完成度与费用）。

三、多级比例

甲：乙 $= a : b$，乙：丙 $= c : d$ 则甲：乙：丙 $= ac : bc : bd$ （设乙的数量为 bc则可以快速得到比例关系）

例题： 甲车间有初级技工、中级技工、高级技工若干名。若初级、中级技工人数之比为5：3，中级、高级技工人数之比为2：1，则甲车间初、中、高级技工人数之比为：

• A. 5:5:1
• B. 10:6:3
• C. 15:6:3
• D. 15:9:3

解析： 我们需要将2个比例关系合在一起，观察发现两个比例的"连接点"即相同部分是中级技工，于是我们将两个比例中的中级技工转化为相同值，即找到3与2的公倍数6，初级、中级技工人数之比 = 10:6；中级、高级技工人数之比 = 6:3，所以初、中、高级技工人数之比为10：6：3，选择B。

例题： 某小区组织"情满金秋"柑橘采摘活动，参加人员按年龄分成老、中、青三组，老年组、中年组的人数之比为5：2，中年组、青年组的人数之比为3：4。老年组、中年组、青年组平均每人采摘速度之比为1：2：3。已知青年组共采摘80斤柑橘，那么三组人员一共采摘柑橘：

• A. 170斤
• B. 212斤
• C. 255斤
• D. 298斤

解析： 5：2与3：4中的中年组是不变量，所以分别通分得到三组人数比为15：6：8，采摘速度比为1：2：3，所以三组采摘量比为15：12：24=5：4：8，而青年组采摘80斤，所以三组一共采摘 $80 \times \frac{5 + 4 + 8}{8} = 170$ 斤，所以选择A。

详细思路

1. 人数比例

   • 老：中 = 5：2
   • 中：青 = 3：4 统一中年组：令中年组为 6 份（2 与 3 的最小公倍数）。 则老年组 $=6\times\frac{5}{2}=15$ 份，青年组 $=6\times\frac{4}{3}=8$ 份。 ⇒ 人数比：老：中：青 = 15：6：8。

2. 速度比例（人均） 老：中：青 = 1：2：3。 ⇒ 各组总效率（人数×人均速度）为：

   • 老：$15\times1=15$
   • 中：$6\times2=12$
   • 青：$8\times3=24$ ⇒ 总效率比：15：12：24。

3. 由青年产量求总量 青年组对应 24 份，已知采 80 斤 ⇒ 1 份 = $80/24=10/3$ 斤。 全部份数和 $=15+12+24=51$ 份。 总量 = $51\times(10/3)=170$ 斤。

因此，三组人员一共采摘 170 斤。

多个比例之间寻找联系，抓准不变量

例题： 一个袋子里红球、白球、蓝球的数量比例为3:8:4,再向袋子中放入14个红球和若干个蓝球后，红球、白球、蓝球的数量比例变为5：4：3。如果此时从袋子里取出10个红球、6个白球和2个蓝球后，袋子里剩余红球、白球、蓝球的数量比例为：

• A. 1:2:1
• B. 2:3:1
• C. 1:1:2
• D. 1:1:1

解析： 放入红球蓝球前后白球个数未变，所以以白球前后比例关系进行通分，得到原来比例3：8：4，后来10：8：6，所以 $10 - 3 = 7$ 份红球 = 14 个，1份 = 2 个，所以后来分别有20、16、12个球。最后取出10个红球、6个白球和2个蓝球，还剩10个、10个、10个，所以是1：1：1，选择D。

详细解析（方程法）

设初始红、白、蓝数量为 $3k, 8k, 4k$。

加入 14 个红球和 $x$ 个蓝球后，比例为 $5:4:3$，故存在比例因子 $y$ 使

由 $8k=4y$ 得 $y=2k$。代入：

此时数量为：红 $3k+14=6+14=20$，白 $8k=16$，蓝 $4k+x=8+4=12$。

再取出红 10、白 6、蓝 2，剩余：

所以比例为 $10:10:10 = 1:1:1$。

例题： 袋子里红球与白球的数量之比是9：3。放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5：1；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为3：1。已知放入的红球比白球多80只。那么袋子里原来共有（）只球。

• A. 200
• B. 220
• C. 240
• D. 260

解析： 第一次比例变化白球不变，所以比例通分为15：3。第二次比例变化中红球没变，所以比例通分为15：5。所以两次变化，份数关系从9：3变成15：3变成15：5，第一次红球加了6份，第二次白球加了2份，相差4份 = 80 只，1份 = 20 只，所以原来共有 $(9 + 3) \times 20 = 240$ 只，选择C。

详细解析（方程法） 设袋子里原有红、白球分别为 $R,W$。已知 $R:W=9:3=3:1$， 故可令 $R=3k,\; W=k$。

第一次加入红球 $x$ 后，比例为 $5:1$：

再加入白球 $y$ 后，比例为 $3:1$：

又知“放入的红球比白球多 80 只”，即

原来共有球数：

例题： 某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量之比为5：2，如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。问甲袋杂粮原来重量为：

• A. 8公斤
• B. 10公斤
• C. 12公斤
• D. 15公斤

解析： 前后甲乙杂粮总重量不变，原来比例5：2，总重量7份，后来比例4：3，总重量7份，不需要通分，可得甲减少1份 = 2 公斤，所以甲原来重量 = $5 \times 2 = 10$ 公斤，所以选择B。

详细解析（方程法） 设甲、乙两袋原重量分别为 $5k$ kg、$2k$ kg。 从甲袋取出 2 kg 放入乙袋后，变为：

• 甲：$5k-2$
• 乙：$2k+2$

给定新比为 $4:3$，故

因此，甲袋原重量为 $5k=5\times 2=10$ kg。

答：10 千克。（校验：移后甲8 kg、乙6 kg，确为 $4:3$。）

例题： 小霖和小蒙两人在2022年时的年龄之比为7：8，2年后，小霖和小蒙的年龄之比为8：9，则可计算得出在2025年时，小霖的年龄是（）岁。

• A. 16
• B. 17
• C. 18
• D. 19

解析： 前后两人年龄差不变，两个比例份数差也不变，所以不需要通分。8 - 7 = 1份 = 2 年，所以24年时小霖 = $8 \times 2 = 16$ 岁，25年时 = $16 + 1 = 17$ 岁，所以选择B。

详细解析（方程法）

1. 设 2022 年两人年龄为 $x_L:x_M=7:8$，故 $x_L=7k,\ x_M=8k$。
2. 2024 年（两年后）满足 $\dfrac{7k+2}{8k+2}=\dfrac{8}{9}$ 交叉相乘：$9(7k+2)=8(8k+2)\Rightarrow63k+18=64k+16\Rightarrow k=2$。
3. 得 2022 年小霖年龄 $7k=14$ 岁；到 2025 年加 3 岁，故为 $14+3=17$ 岁。

校验： 2024 年小霖 $16$ 岁、小蒙 $18$ 岁，比例 $16:18=8:9$ 成立。

四、和差关系

$x + y = m$，$x - y = n$，则 $x = \frac{m + n}{2}$，$y = \frac{m - n}{2}$

例题： 小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁：

• A. 25,32
• B. 27,30
• C. 30,27
• D. 32,25

解析： 小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁，所以小王比小李大3岁。小李的弟弟比小李小2岁，所以小王比小李的弟弟大5岁，而1994年小王和小李弟弟年龄和 = 15，所以当时小王 = $\frac{15 + 5}{2} = 10$ 岁，小李弟弟 = $\frac{15 - 5}{2} = 5$ 岁。2014年小王 = 10 + (2014 - 1994) = 30 岁，小李弟弟 = 5 + (2014 - 1994) = 25 岁，小李 = 25 + 2 = 27 岁，所以选择B。

方程法 答案：B. 27, 30

推理：

1. 设 1994 年小李年龄为 $L$，小王年龄为 $W$。 已知：小王的哥哥比小王大 2 岁、比小李大 5 岁 ⇒ $W+2=L+5\Rightarrow W=L+3$。
2. 小李的弟弟比小李小 2 岁 ⇒ 1994 年弟弟年龄为 $L-2$。 且 1994 年弟弟与小王的年龄和为 15 ⇒ $(L-2)+W=15$。
3. 代入 $W=L+3$：$(L-2)+(L+3)=15 \Rightarrow 2L+1=15 \Rightarrow L=7$。 则 $W=L+3=10$。
4. 到 2014 年相隔 20 年： 小李 $7+20=27$ 岁；小王 $10+20=30$ 岁。

校验： 小王哥哥 1994 年为 $W+2=12$，确比小王大 2、比小李大 5，条件一致。

快速解法：代入选项快速到方程中快速判断

和差倍比关系奇偶特性

当且仅当两个整数x、y之和为偶数，x、y之差也是偶数。当且仅当两个整数x、y之和为奇数，x、y之差也是奇数。当且仅当两个整数x、y都是奇数，x、y之积也是奇数。

例题： 一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。售货员说："您应该付39元才对。"

请问书比杂志贵多少钱：

• A. 20
• B. 21
• C. 23
• D. 24

解析： 因为书和杂志一共39元是奇数，所以差值也是奇数，排除A、D选项。剩二选一考虑代入验证排除。如果书 - 杂志 = 21，书 + 杂志 = 39，则书 = 30，杂志 = 9，书价格看反了应该一共付 03 + 9 = 12 元，与题意不符排除B，所以选择C。

验证C：书 - 杂志 = 23，书 + 杂志 = 39，则书 = 31，杂志 = 8，书价格看反了应该一共付 13 + 8 = 21 元，符合题意。

不定方程法

设书的定价为两位数 $10a+b$（$a,b$ 为数字，十位是 $a$，个位是 $b$），杂志价为 $m$ 元。 把书价看反为 $10b+a$。

由题意（错看总价为 21 元，正确总价为 39 元）：

两式相减得：

把 $a=b+2$ 代入任一式：

因为 $b$ 为数字且书价是两位数，常规约定交换后仍为两位数（个位不为 0），故 $b\ge1$。 又 $m\ge0$ 得 $19-11b\ge0\Rightarrow b=1$。

于是：

• 书价 $=10a+b=10(b+2)+b=31$ 元；
• 杂志价 $=m=8$ 元；
• 书比杂志贵 $31-8=23$ 元。

答：书比杂志贵 23 元。

备注：若允许个位为 0（交换后可成一位数），则还存在解：书 20 元、杂志 19 元，差 1 元。但通常题目隐含“交换后仍为两位数”，故取 23 元为答案。

例题： 某年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人：

• A. 177
• B. 176
• C. 266
• D. 265

解析： 因为（甲 + 丁）- （乙 + 丙）= 1，差是奇数，所以和（甲 + 丁）+ （乙 + 丙）即四个班总人数也是奇数，所以排除BC，而D选项 = 131 + 134 = 乙丙丁 + 甲乙丙，排除，所以选择A。

方程法 设四个班人数分别为：甲=A，乙=B，丙=C，丁=D。

由题意得：

1. 不算甲：$B+C+D=131$
2. 不算丁：$A+B+C=134$
3. 乙丙比甲丁少1人：$B+C=(A+D)-1$

令总人数 $T=A+B+C+D$。 由(1)(2)：$T-A=131,\;T-D=134 \Rightarrow A-D=3$。 又由(1)得 $B+C=131-D$。代入(3)：

联立

再由(1)得 $B+C=131-43=88$。

总人数：

答：四个班共有 177 人。

五、和差倍比关系

$x + y = m$，$x : y = n$，则 $x = m \times \frac{n}{n + 1}$，$y = m \times \frac{1}{n + 1}$

$x + y + z = m$，$x : y : z = a : b : c$，则 $x = m \times \frac{a}{a + b + c}$，$y = m \times \frac{b}{a + b + c}$，$z = m \times \frac{c}{a + b + c}$

例题【较难】： 某公司按1：3：4的比例订购了一批红色、蓝色、黑色的签字笔，实际使用时发现三种颜色的笔消耗比例为1：4：5。当某种颜色的签字笔用完时，发现另两种颜色的签字笔共剩下100盒。此时又购进三种颜色签字笔总共900盒，从而使三种颜色的签字笔可以同时用完。问新购进黑色签字笔多少盒？

• A. 450
• B. 425
• C. 500
• D. 475

解析： 若三种颜色购买量为m、3m、4m，消耗速度每天为n、4n、5n，则分别需要 $\frac{m}{n}$ 天、$\frac{3m}{4n}$ 天、$\frac{4m}{5n}$ 天，发现蓝色 $\frac{3m}{4n}$ 天最快，所以我们来到蓝色签字笔用完的这一刻，此时蓝色签字笔购买量 = 消耗量，所以我们将购买、消耗的比例根据蓝色笔的相等关系进行比例通分，得到购买比例为：4：12：16，消耗比例为3：12：15，$4 - 3 = 1$

16 - 15 = 1，则此时红色、黑色签字笔所剩份数都是1份，相等。而一共剩下100盒，所以红色笔、黑色笔此时各剩下50盒。

后来购进900盒，一共1000盒，需要同时用完，则这1000盒应当按照1：4：5分配，黑色签字笔有 $1000 \times \frac{5}{1 + 4 + 5} = 500$ 盒，所以需要新购进500 - 50 = 450盒黑色签字笔，选择A。

$x - y = m$，$x : y = n$，则 $x = m \times \frac{n}{n - 1}$，$y = m \times \frac{1}{n - 1}$

方程法 设最初订购量（盒）：红 $R=s$，蓝 $B=3s$，黑 $K=4s$。 消耗速率成 $1:4:5$，记为红 $u$，蓝 $4u$，黑 $5u$。

• 各色若不再进货的用完时间：

  $$t_R=\frac{s}{u},\quad t_B=\frac{3s}{4u},\quad t_K=\frac{4s}{5u}$$

  最小的是 $t_B=\frac{3}{4}\frac{s}{u}$，故蓝色先用完。

• 到蓝色用完时其他两色剩余：

  $$R_{\text{余}}=s-u\cdot \frac{3s}{4u}=\frac{s}{4},\quad K_{\text{余}}=4s-5u\cdot \frac{3s}{4u}=\frac{s}{4}$$

  又知两色合计余 $100$ 盒，故 $\frac{s}{4}+\frac{s}{4}=\frac{s}{2}=100 \Rightarrow s=200$。 因而当时红、黑各余 $50$ 盒，蓝为 $0$ 盒。

• 此时再进货三色共 $900$ 盒，设新增为 $(x,y,z)$（红、蓝、黑）。为使同时用完，余量与消耗速率成同比例：

  $$50+x : y : 50+z = 1:4:5 \;\Rightarrow\; 50+x=t,\; y=4t,\; 50+z=5t$$

  且 $x+y+z=900$。代入：

  $$(t-50)+4t+(5t-50)=900 \Rightarrow 10t=1000 \Rightarrow t=100$$ $$x=50,\; y=400,\; z=450$$

所求： 新购进黑色签字笔 $z=\boxed{450}$ 盒。

比例差

比例差也是份数思想的表现。

如果A：B = a：b，则我们可以把A看作a份，B看作b份，其中a份、b份的每一份都是相等的，则 $A = a \times \frac{A - B}{a - b}$

所以当我们知道两者之差、两者之比时，即可运用比例差思维快速得到两者具体值。

例： 如果两人速度之比为5：6，两人速度之差为 $10\text{m/s}$。那么我们可以先把2人的速度看作5份与6份，那么相差的1份 = $10\text{m/s}$，各自速度5份、6份就是 $50\text{m/s}$ 和 $60\text{m/s}$

例题： 现已知小李小王行驶速度比为5：8，两人同时同地点同向出发，经过一小时后，两人距离差为45公里，问小李行驶了多远？

解析： 小李小王行驶速度比为5：8，所以路程比也是5：8，比例差为3，距离差为45，所以小李路程 = $5 \times \frac{45}{3} = 75$ 公里。

方程法 设小李、小王的速度分别为 $5k$ 和 $8k$（km/h）。 同向出发 1 小时后距离差为

小李速度 $=5k=75$ km/h，1 小时行驶

答：小李行驶了 75 公里。

例题【较难】： 小王每天以v千米／小时的速度骑车到单位上班，如果速度提高 $20\%$，则可以提前10分钟到单位；如果以原速度骑行2千米后再提速 $30\%$，也可以提前10分钟到达。问小王家距离单位多少千米？

• A. 5.4
• B. 7.2
• C. 8.5
• D. 9.6

解析： 速度提高 $20\%$ 前后速度比为5：6，路程不变，时间为反比6：5，$6 - 5 = 1$ 份相差10分钟，所以原来需要6份即60分钟，提速 $20\%$ 后只需要50分钟。

骑行 $2\text{km}$ 后提速 $30\%$，提速前后速度比为10：13，则后段路程时间比为13：10，$13 - 10 = 3$ 份相差10分钟，所以提速前需要 $10 \times \frac{13}{3} = \frac{130}{3}$ 分钟，说明前段路程2km骑行了 $60 - \frac{130}{3} = \frac{50}{3}$ 分钟，所以全程为 $2 \times \frac{180}{30} = 7.2$ 千米，选择B。

方程法 设家到单位距离为 $d$ 千米，原速度为 $v$ 千米/小时，原用时 $t=d/v$ 小时，10 分钟 $=\frac{1}{6}$ 小时。

情形一（全程提速 20%）：

故原用时 $t=\frac{d}{v}=1$ 小时。

情形二（先 2 千米后提速 30%）：

由上得 $d=v$，代入：

因此 $d=v=7.2$（千米）。

答： 小王家距离单位 7.2 千米。