一、核心概念：比例法

1. 什么是比例法？

比例法是一种通过分析题目中各个量之间存在的比例关系，来简化计算、快速求解的数学方法。在公务员考试的“数量关系”模块，很多题目看似复杂，但其内在都遵循着一定的比例关系。掌握了比例法，就如同拥有了一把解开复杂问题的钥匙。

举个身边的例子：

假设你去商店买苹果，每个苹果5元钱。

• 你买1个，总价是5元。
• 你买2个，总价是10元。
• 你买10个，总价是50元。

在这个过程中，苹果的 “单价” 是一个固定不变的量。而 “总价” 和你购买的 “数量” 是两个变化的量。但它们之间存在一种固定的关系： $\frac{总价}{数量} = 单价(5元)$ 总价和数量的比值是一个定值（也就是单价），我们就说“总价”和“数量”成 正比例 关系。

现在换一种情况，假设学校食堂有一项固定的清洁任务，需要80个“工时”才能完成（比如，1个人干80小时）。

• 如果派1个学生去，需要80小时。
• 如果派2个学生去，只需要40小时。
• 如果派8个学生去，只需要10小时。

这里的 “总工作量” 是固定不变的。而 “工作人数” 和 “工作时间” 是变化的量。它们的关系是： $工作人数 \times 工作时间 = 总工作量(80工时)$ 工作人数和工作时间的乘积是一个定值，我们就说“工作人数”和“工作时间”成 反比例 关系。

2. 比例法的核心：寻找不变的量

比例法的灵魂在于“寻找不变量”。在题目描述的场景变化中，总有一些量是恒定不变的，或者总量、或者差值、或者某个单一的量。一旦找到了这个“不变量”，我们就可以围绕它建立比例关系，从而看清其他变量是如何变化的。

• 公式形态一（正比例）： $A \div B = k$ (k为定值)

  • 当k不变时，A和B成正比例。A扩大N倍，B也扩大N倍。

• 公式形态二（反比例）： $A \times B = k$ (k为定值)

  • 当k不变时，A和B成反比例。A扩大N倍，B则缩小为原来的 $\frac{1}{N}$。

常见的三量关系：

• 路程 = 速度 × 时间
• 总价 = 单价 × 数量
• 工作总量 = 效率 × 时间
• 溶液总质量 = 溶质质量 ÷ 浓度
• 利润 = 成本 × 利润率

在这些公式中，只要有一个量是固定的，另外两个量就会呈现出明确的正比例或反比例关系。

3. 比例法常用技巧

3.1 统一比例：三量比例

当遇到甲:乙、乙:丙这种形式时，需要通过中间量“乙”作为桥梁，来统一甲、乙、丙三者的比例。

推导过程： 若 甲:乙 = a:b，乙:丙 = c:d 为了统一乙的份数，我们将第一个比例两边同时乘以c，第二个比例两边同时乘以b。

• 甲:乙 = ac : bc
• 乙:丙 = bc : bd 于是得到：甲 : 乙 : 丙 = ac : bc : bd

例： 甲:乙=2:3，乙:丙=4:5。求甲:乙:丙。

• 乙在两个比例中分别是3和4，3和4的最小公倍数是12。
• 第一个比例扩大4倍：(2×4):(3×4) = 8:12
• 第二个比例扩大3倍：(4×3):(5×3) = 12:15
• 所以，甲:乙:丙 = 8:12:15

3.2 差值比例与等比性质

由基础比例式 $a:b = c:d$ (即 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ )，可以推导出更丰富的比例关系。

一个常用的变形是 合比与分比，它表明： $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ 以及 $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

另一个强大的工具是 等比性质： $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}$

这个性质在处理“价格差”、“年龄差”等问题时非常有用。

3.3 恒值问题

恒值问题是比例法的核心应用，关键是识别题目中哪个量在整个变化过程中是保持不变的，并以此为基准进行计算。

• 和不变：如两种溶液混合，总溶液的质量不变。
• 差不变：如两人之间的年龄差，或者两件商品降价或涨价相同的金额，其价格差不变。
• 单个量不变：如溶液中加水，溶质的量不变；或者甲给乙一部分钱，但甲乙的总钱数不变。

二、真题讲解

1. 多对象关联问题

例1 某企业为全体员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣。裁缝每小时为52名男员工和35名女员工量尺寸。几小时后，刚好量完所有女员工的尺寸，这时还有24名男员工没量。若男员工与女员工的人数比为11：7，则该企业共有（ ）名员工。

• A.720
• B.810
• C.900
• D.1080

2. 恒值问题

2.1 和不变：溶液混合

例2 一个瓶中酒精与水的体积比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体积比是4：1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？

• A.31：9
• B.7：2
• C.31：40
• D.20：11

2.2 差不变：价格升降

例3 甲乙两种商品的价格比是3：5，如果他们的价格分别下降50元，它们的价格比是4：7，这两种商品原来的价格各为多少元？

• A.300元 500元
• B.375元 625元
• C.450元 750元
• D.525元 875元

2.3 单一量不变：加水稀释

例4 千禧锻造厂要制造一批一定比例的锡铁金属合金，第一次加入适量的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的4%，第二次加入同样多的金属铁后，金属锡的含量占总重3%，如果第三次再加入同样多的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的百分比是（ ）

• A.2.5%
• B.2.4%
• C.2.7%
• D.2.8%

2.4 和不变但内部分配变化

例5 股民甲和乙分别持有同一家公司的股票。如果乙将自己的10000股转给甲，则此时甲持有该股票的份额是乙的3倍；如果甲将自己的1000股转给乙，则此时乙持有该股票的份额比甲多6倍。那么，甲乙二人共持有( )股该公司股票。

• A.6400
• C.17800
• B.17600
• D.28800

3. 基础比例应用

3.1 效率与时间的反比关系

例6 甲乙两辆清洁车执行东西两城的公路清洁任务，甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东西两城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫15千米，东西两城相距多少千米?

• A.60
• B.75
• C.90
• D.135

3.2 速度与时间的连锁比例

例7 一人从甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑车速度比公交慢50%，如果一个人坐公车从甲地到乙地，再从乙地步行回到甲地一共用了一个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要多长时间?

三、技巧总结

1. 先看比例，再看问题：读题时，优先识别题目中出现的“几比几”、“是…的几倍”、“百分之几”等词语，这些都是比例法的信号。
2. 找准不变量是核心：解题前先问自己，在这个过程中，什么是不变的？是总和、差值、还是某个特定物体的量？抓住不变量，就抓住了破题的关键。
3. 份数思想代替具体数值：不要过早代入具体数字计算，用“份数”来思考。将比例关系看作是份数的分配，可以大大简化思路。
4. 统一比例是前提：当出现多个比例关系时（如三量比例），必须先通过中间量将所有比例统一到同一个标准下，才能进行后续的加减比较。
5. 灵活运用正反比：
   • “一同”则正：$A=B \times C$，若A固定，B和C成反比；若B固定，A和C成正比。可以记作“一固（定）一正（比）”。
   • “相遇/追及”：时间相同，路程和速度成正比。
   • “往返/环绕”：路程相同，时间和速度成反比。
6. 方程法是备用选项：当比例关系非常复杂，或者找不到不变量时，方程法是最稳妥的最后防线。但通常，比例法会更快。

四、例题增补

有两袋大米共重 440 千克,甲袋米吃了了 1/3,乙袋米吃了 1/2,这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为 8:5.问:甲袋米原来重多少千克?乙袋米原来重多少千克?（使用份数法解决不使用方程法）

份数法

设：吃完后，甲余下与乙余下的比是 $8:5$。 题意中：甲余下是原来的 $\tfrac{2}{3}$，乙余下是原来的 $\tfrac{1}{2}$。

1. 把“吃完后”的份数还原到“原来”的份数

• 若甲吃完后为 $8$ 份，则甲原来为 $8\div\tfrac{2}{3}=12$ 份；
• 若乙吃完后为 $5$ 份，则乙原来为 $5\div\tfrac{1}{2}=10$ 份。

所以，甲∶乙（原来）= $12:10=6:5$。

2. 用总重量求每份 总重 $440$ 千克对应 $6+5=11$ 份， 故 1 份 $=440\div11=40$ 千克（验算：$11\times40=440$）。

3. 求原来的各自重量

• 甲原来 $=6$ 份 $=6\times40=240$ 千克；
• 乙原来 $=5$ 份 $=5\times40=200$ 千克。

答：甲袋米原来重 240 千克，乙袋米原来重 200 千克。 （校验：吃后甲 $240\times\tfrac{2}{3}=160$，乙 $200\times\tfrac{1}{2}=100$，$160:100=8:5$ ✅）

原本红球和白球的数量比是 3:4，放入 3 个红球后变成了 6:7，求原本红白球的数量是多少?（使用份数法）

使用份数法解决问题，核心是抓住“白球数量始终不变”这一关键，通过统一白球的份数，找到红球份数变化与实际数量变化的对应关系，步骤如下：

步骤1：统一“不变量”（白球）的份数 原本红球:白球 = 3:4，放入红球后红球:白球 = 6:7。
由于白球数量未变，需将两个比例中“白球的份数”统一为最小公倍数（4和7的最小公倍数是28）：

• 原比例（3:4）：两边同乘7，得到 原红球:原白球 = 21:28（白球统一为28份）。
• 新比例（6:7）：两边同乘4，得到 新红球:原白球 = 24:28（白球仍为28份）。

步骤2：分析红球的份数变化与实际数量变化 对比统一后的比例：

• 原红球：21份
• 新红球：24份
• 红球份数增加：$24-21=3$份

题目中明确“放入3个红球”，即红球实际数量增加3个，对应份数增加3份，因此：
$1$份的数量 = $3\div3=1$个。

步骤3：计算原本红、白球的数量

• 原红球数量：21份×1个/份 = 21个
• 原白球数量：28份×1个/份 = 28个

答案：原本红球有21个，白球有28个。

甲和丙的年龄和是乙的 2 倍，今年甲的年龄是丙的 3 倍，9 年后甲的年龄是丙的 2.4 倍，则 多少年后丙的年龄是乙的$\frac{4}{7}$？(使用份数法)

用“份数法”解：

1. 设“丙=1份”，由“甲是丙的3倍”得：甲=3份；又“甲+丙=2乙”得：乙=2份。故现龄份比：甲:乙:丙=3:2:1。

2. 9年后：(甲+9):(丙+9)=12:5。用“同加同减，差不变”：现差=甲−丙=2份；12:5的差=7份，对应同一实际差。设1份=x岁，则可直接由比例求：$(3x+9):(x+9)=12:5\Rightarrow x=21$。于是：甲=63，乙=42，丙=21（校验：9年后为72:30=12:5）。

3. 求t使丙与乙满足$\dfrac{丙+t}{乙+t}=\dfrac{4}{7}$。现丙:乙=1:2，用“截距法”（两数同加t变成指定比）： $t=\frac{4\cdot乙_{\text{现}}-7\cdot丙_{\text{现}}}{7-4}=\frac{4\cdot42-7\cdot21}{3}=7$ （亦可代入：$21+t=\tfrac{4}{7}(42+t)\Rightarrow t=7$）。

答：7年后丙的年龄是乙的$4/7$。

甲和乙两个工程队共同承担某项工程的施工任务。两队合作时各自的效率均比单独施工时高20%。已知两队合作施工需要 25 天完工;如甲先施工 15 天后乙加入，两队合作 15 天后剩余工作乙单独施工还需要 10 天完成。问甲队的效率是乙队的多少倍?（使用份数法）

用“份数法”设 甲、乙单独施工的日效率分别为 $a$ 份/天、$b$ 份/天；全工程为 $W$ 份。

条件1（合作25天）： 合作时各自提效20%，合效率为 $1.2a+1.2b=1.2(a+b)$。 故 $W=25\times1.2(a+b)=30(a+b)$。

条件2（15天甲单独 + 15天合作 + 乙收尾10天）： 完成量 $=15a+15\times1.2(a+b)+10b=15a+18(a+b)+10b=33a+28b$。 这同样等于 $W$，所以

$33a+28b=30(a+b)\;\Rightarrow\;33a+28b=30a+30b\;\Rightarrow\;3a=2b.$

于是

$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}.$

答： 甲队效率是乙队的 $\boxed{\tfrac{2}{3}}$ 倍。 （校验：取 $a:b=2:3$ 可满足两种施工方案的工程量一致。）

企业列出 500 万元设备采购预算，如用于购买 x 台进口设备，最后剩余 20 万元。经董事会研究后，决定购买质量更高的同类国产设备，单价仅为进口设备的 75%。当前预算可购买x+3 台，最后剩余 5 万元。问国产设备的单价在以下哪个范围内？（使用份数法）

解题思路（份数法）

1. 设进口设备单价为 4份，则国产同类设备单价为 3份（因 75%）。
2. 预算 500 万，购进口设备后余 20 万 ⇒ 实付 480 万 = 4x 份，故 1份 = 480万 ÷ (4x) = 120万/x。
3. 改购国产设备可买 x+3 台，余 5 万 ⇒ 实付 495 万。所需份数为 3(x+3) 份，于是 $3(x+3)\times(120万/x)=495万$ ⇒ $360万\cdot\frac{x+3}{x}=495万$ ⇒ $\frac{x+3}{x}=\frac{495}{360}=\frac{11}{8}$， 得 x=8。
4. 国产设备单价 = $3份\times(120万/8)=45万$。

结论：国产设备单价为 45 万元，落在 40～50 万元 的范围。 （校验：11 台 × 45 万 = 495 万，确余 5 万，成立。）

某单位去年报名参加志愿活动的党员与非党员之比为 1∶3。今年的报名总人数提高了 20%， 党员与非党员之比为 1∶2，党员人数比去年多了 6 人。则今年该单位报名参加志愿活动的党 员共有（ ）人。（使用份数法）

份数法解题

1. 去年党员∶非党员 = 1∶3，总份数 4 份。设去年总人数 = 4k，则去年党员 = k。
2. 今年总人数比去年多 20% ⇒ 今年总人数 = 1.2×4k = 4.8k。
3. 今年党员∶非党员 = 1∶2，总份数 3 份 ⇒ 1 份 = 4.8k ÷ 3 = 1.6k， 故今年党员人数 = 1.6k。
4. 已知今年党员比去年多 6 人： $1.6k - k = 0.6k = 6 \Rightarrow k = 10$。 所以今年党员 = 1.6k = 16（人）。

答案：16 人（校验：去年 10 人；今年总 48 人，其中党员 16、非党员 32，确实多 6 人）。

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