溶液问题的线段法

适用场景：已知两种（或一种为纯水/纯酒精）的浓度与体积，混合后得到某一目标浓度，求未知体积或目标体积/浓度。

1. 核心思想与结论

两端为已知浓度 $c_1$ 与 $c_2$ （默认 $c_1<c_2$ ），目标浓度为 $c$ （且 $c_1<c<c_2$ ）。则 体积（或质量）之比 与 “离目标浓度的差” 成反比： $\frac{V_1}{V_2}=\frac{c_2-c}{\,c-c_1\,}$

记忆口诀：谁离目标远，谁就取得少（远 ↔ 分母大 ↔ 体积小）。

特别情形

与纯水混（ $c_1=0\%$ ）： $\dfrac{V_{\text{水}}}{V_{\text{浓液}}}=\dfrac{c_2-c}{c-0}=\dfrac{c_2-c}{c}$
与纯酒精混（ $c_2=100\%$ ）： $\dfrac{V_{\text{稀液}}}{V_{\text{纯酒精}}}=\dfrac{100-c}{c-c_1}$

c1（低） ──────────────── c ──────────────── c2（高）
          ↑距离：c - c1            ↑距离：c2 - c
   ←—— 对应 V2 ——→           ←—— 对应 V1 ——→

题目：杯中有 280 ml 的水（ $0\%$ ），加入浓度为 $60\%$ 的酒精溶液后，杯中溶液的酒精浓度为 $18\%$ 。问加入的酒精溶液为（）ml。 A. 90 B. 120 C. 150 D. 180

线段法解：

方程核验（酒精守恒）： 设加入 $x$ ml，则 $0.6x=0.18(280+x)\Rightarrow 0.42x=50.4\Rightarrow x=120$ （一致）。

快检：目标 18% 远离 0% 比 60% 近（18 与 42 比），所以水量应更大，解出确为 280 ml vs 120 ml，合理。

已知 $c_1,c_2,c$ 与 $V_1$ （或 $V_2$ ），求另一体积： $V_1:V_2=(c_2-c):(c-c_1)$ 。

纯水 + $c_2\%$ $\rightarrow c\%$ ： $\dfrac{V_{\text{水}}}{V_{c_2}}=\dfrac{c_2-c}{c}$ 。
纯酒精 + $c_1\%$ $\rightarrow c\%$ ： $\dfrac{V_{\text{纯}}}{V_{c_1}}=\dfrac{c-c_1}{100-c}$ 。

给 $V_1,V_2,c_1,c_2$ ，要 $c$ ：由差比得 $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{c_2-c}{c-c_1}$ 解 $c$ ；或直接守恒 $c=\dfrac{c_1V_1+c_2V_2}{V_1+V_2}$ 。

已知体积求混入量 有 $400$ ml 的 $10\%$ 盐水，加入 $40\%$ 盐水，配成 $16\%$ 。求需加入的体积。解：差比 $(40-16):(16-10)=24:6=4:1$ 。低浓:高浓 $= ? : ?$ 为 $(c_2-c):(c-c_1)=24:6=4:1$ 。已知低浓 400 ml 对应 4 份 → 1 份 $=100$ ml → 高浓需 100 ml。
与纯水混合 把 $25\%$ 酒精 $x$ ml 与水混合成 $10\%$ ，若水为 $270$ ml，求 $x$ 。差比： $(25-10):(10-0)=15:10=3:2$ 。水 : 25% $=2:3$ 。已知水 270 → 2 份 → 1 份 135 → 3 份 405 ml。
反求目标浓度 将 $200$ ml 的 $12\%$ 与 $300$ ml 的 $30\%$ 混合，求浓度。守恒： $c=\dfrac{0.12\cdot200+0.30\cdot300}{200+300}=\dfrac{24+90}{500}=0.228=22.8\%$ 。（或用权重平均快速心算：更靠近 30%，且总量偏向 30%那边。）