植树问题

一、核心概念

植树问题是研究物体总长度、间距和物体个数之间关系的典型应用题。其本质是理解“物体”与“间隔”之间的数量关系。

为了更好地理解，我们用一个生活中的例子来推导公式：伸出你的手，我们把手指看作要栽的“树”，手指间的缝隙看作“间隔”（株距）。

两端都“植树”：看你的食指、中指、无名指，3根手指之间有2个缝隙。如果我们把整段路看成从食指指尖到无名指指尖的距离，这就属于两端都植树。
- 公式： $棵数 = 间隔数 + 1$
- 推导： $棵数 = \frac{总长度}{间距} + 1$
两端都不“植树”：同样是食指、中指、无名指，如果我们只考虑它们之间的部分，不包括食指和无名指本身，那就只有中指这1根“树”，但它们之间仍然有2个间隔。
- 公式： $棵数 = 间隔数 - 1$
- 推导： $棵数 = \frac{总长度}{间距} - 1$
一端“植树”：只看食指和中指，1个间隔，2根手指。如果我们只栽一头，比如食指，那么就是1个间隔，1棵树。
- 公式： $棵数 = 间隔数$
- 推导： $棵数 = \frac{总长度}{间距}$
封闭图形“植树”：想象一下把你的大拇指和无名指连成一个圈，那么3根手指（大拇指、食指、中指）之间就会有3个缝隙。在圆形、正方形等封闭线路上植树，棵数和间隔数是相等的。
- 公式： $棵数 = 间隔数$
- 推导： $棵数 = \frac{总长度}{间距}$

二、真题讲解

(一) 基础植树问题

例1：在长581米的道路两侧植树，假设该路段仅两端有路口，要求在道路路口15米范围内最多植1棵树，并且相邻两棵树间的距离为4米，问最多能植多少棵树?

A. 137
B. 139
C. 278
D. 280

(二) 楼梯问题（等价植树）

例2：搬运工负重徒步上楼，刚开始保持匀速，用了30秒爬了两层楼（中间不休息），之后每多爬一层多花5秒，多休息10秒，那么他爬到七楼一共用了多少秒：

A. 220
C. 180
B. 240
D. 200

(三) 综合问题 (植树与最小公倍数)

例3：为把2008年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，己知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（）。

A. 8500 棵
C. 12596 棵
B. 12500 棵
D. 13000 棵

(四) 环形植树与增加植树

例4：一个圆形池塘，周长为500米，原先沿着池塘边缘每隔25米安装一盏灯。现在需要调整，要求在相邻两盏灯之间等距离地增加4盏灯，请问调整后相邻两盏灯之间的距离是多少米？

A. 4米
B. 5米
C. 6米
D. 8米

(五) 公约数与公倍数应用

例5：一条长120米的道路一侧，原先按4米间距植树，现计划改为6米间距。如果道路两端都必须有树，那么有多少棵树不需要移动？

A. 10
B. 11
C. 12
D. 15

例6：某市为了美化城市，计划在一条长300米的街道一侧安装路灯。根据规划，在街道的72米处、120米处和240米处必须安装路灯。为了节省成本，要求相邻路灯的间距都相等，请问最少需要安装多少盏路灯（街道起点和终点都安装）？

A. 24
B. 25
C. 26
D. 30

三、技巧总结

公式是核心：必须牢记不同情况下的核心公式。
- 两端都植：棵数 = 间隔数 + 1
- 两端不植：棵数 = 间隔数 - 1
- 一端植或封闭：棵数 = 间隔数
识别变体：很多题目不会直接让你“植树”，而是以其他形式出现，要学会识别其本质。
- 上楼梯：爬到N楼 = 经过 N-1 个楼层间隔。
- 锯木头/剪绳子：锯成N段 = 需要锯 N-1 次。
- 站队列：N个人站一列，相邻两人隔M米，队长M×（N-1）米。
- 时钟问题：钟声敲N下，中间有N-1个时间间隔。
审题是关键：
- 读清条件：是“两端”还是“单边”？是“直线”还是“封闭”？
- 注意单位：总长度和株距的单位是否一致？
- 关注特殊限制：如本篇例题中的“路口范围”、“休息时间”等，这些往往是解题的突破口和易错点。
结合其他模型：植树问题常常与盈亏问题、等差数列等结合，考察综合分析能力。遇到复杂问题时，要尝试拆解题目，识别出其中包含的各种数学模型。
掌握公约数与公倍数应用：
- 最大公约数(GCD)：当题目要求在某些指定位置必须植树，又要使总棵树最少时（即间距最大），应求各指定点之间距离的最大公约数。
- 最小公倍数(LCM)：当题目涉及调整间距，并询问有多少棵树不需要移动时，应求新旧间距的最小公倍数，该公倍数即为不动树的间距。

真题精讲

例（2023 福建事业单位）在一片长 20 米宽 10 米的长方形的地上植树，每两棵树之间的行距和列距均为 2 米，则在这片长方形的地上最多可以植（）棵树。

A.50
B.55
C.60
D.66

解析在长方形地块上按行距=2 m、列距=2 m布点，相当于在边界内（含边界）作一个网格。

沿长边20 m：位置为0,2,4,…,20，共 $\lfloor 20/2 \rfloor + 1 = 10+1=11$ 个点；
沿宽边10 m：位置为0,2,4,…,10，共 $\lfloor 10/2 \rfloor + 1 = 5+1=6$ 个点；
总棵数： $11 \times 6 = 66$ 。

常见误区： 直接做 $(20/2)\times(10/2)=50$ 少算了两端的边界点；每个方向都应再加1。

例（2019 广东）某机构计划在一块边长为 18 米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每隔 2 米插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要（）面彩旗。

A.32
B.36
C.44
D.48

解析

每边长 18 m，间距 2 m，则每边旗数（含两端）为 $18/2+1=10$ 面。
四边合计 $4\times 10=40$ ，但四个角被各算了两次，应减去 4：
$40-4=36$
交叉核对：按周长计数。周长 $4\times 18=72$ m，间距 2 m，沿一圈均匀插旗（起点角只算一次），总数
$72/2=36$

易错点： 直接算 $4\times(18/2+1)=40$ 忽略了四个角的重复计数。

例（2018 广州）某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔 35 米的路灯一共有 21 盏，现要将路灯的间隔缩短为 25 米，那么有（）盏路灯无需移动。

解析

原有 21 盏、间隔 35 m ⇒ 路段长度 $L=35\times(21-1)=700$ m（含两端灯位）。
现改为每 25 m 一盏，从同一端点起布。无需移动的灯=新旧灯位重合点。
重合点满足位置同时为 25 与 35 的公倍数，即它们的最小公倍数 $\mathrm{lcm}(25,35)=175$ 的倍数。
从 0 到 700（含端点）的 175 倍数有： $0, 175, 350, 525, 700$ ，共 $\frac{700}{175}+1=5$ 个。

因此，有 5 盏路灯无需移动。

例（2020 深圳）某公园举办春节花展，在周长 400 米的中心区布置了环形花槽，并在花槽上每隔 16 米挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定增加并挪动一些灯笼，但仍保持灯笼间距相等。已知加入新灯笼后，共有 5 只旧灯笼没有移动，则调整后的灯笼间距最大为（）米。

A.12
B.10
C.8
D.5

解析

原周长 $400$ m，旧间距 $16$ m，旧灯笼在位置集合 $16\mathbb{Z}\pmod{400}$ 。
新间距设为 $d$ （等距、且“增加”⇒ $d<16$ ）。新位置集合为 $d\mathbb{Z}\pmod{400}$ 。
旧位点未移动的数量 = 两集合公共点数 = $\dfrac{400}{\operatorname{lcm}(16,d)}=5$ ⇒ $\operatorname{lcm}(16,d)=80$ 。
解 $d$ ：因 $16=2^4$ ， $80=2^4\cdot 5$ ，故 $d$ 需含因子 $5$ ，且 2 的幂不超过 $2^4$ 。并且 $d\mid 400$ 。得 $d\in\{5,10,20,40,80\}$ 。结合 $d<16$ （“增加”）⇒ $d\in\{5,10\}$ ，取最大为 10。

例（2023 深圳事业单位）开学前，某大学准备在一条长 180 米的校道两侧从起点到终点装饰若干条迎新宣传语，学生会要求每 3 米有宣传语，研究生会要求每 4 米有宣传语。为同时满足上述要求，则一共需要准备宣传语（）条。

A.91
B.92
C.102
D.104

解析

“同时满足每 3 米有、每 4 米也有” ⇒ 在同一条 0–180 m 的直线上，取3 的倍数点与 4 的倍数点的并集（重合点只算一次）。

3 的倍数点数： $180/3+1=60+1=61$ （含 0 与 180）
4 的倍数点数： $180/4+1=45+1=46$
重合（12 的倍数）点数： $180/12+1=15+1=16$

并集总数： $61+46-16=91$ 。

注：题目说“两侧”是场景描述，并未要求“每侧分别”满足 3 米或 4 米，否则应分别计数；本题应按同一路径同时满足两种间距来做并集计数。

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