第五章 行程问题

一、基本方程运算

路程 = 速度 x 时间

例 一列火车经过两个隧道和一座桥梁，第一个隧道长600米，火车通过用时18秒；第二个隧道长480米，火车通过用时15秒；桥梁长800米，火车通过时速度为原来的一半，则火车通过桥梁所需的时间为？

• A. 20秒
• B. 25秒
• C. 40秒
• D. 46秒

解析 假设车长为 $x$ 米，速度为 $v$ m/s，则 $600 + x = 18v$ ， $480 + x = 15v$ ，解得 $v = 40$ m/s ， $x = 120$ m。桥梁长为800米，所以降低一半速度通过的话需要时间 $= \frac{800 + 120}{20} = 46$ 秒，选择D选项。

二、比例关系

速度不变，路程与时间成正比

例 小李以每分钟80米的速度从家中步行去上班，走了路程的 $20\%$ 之后，他又前行了2分钟，这时他发现尚有四分之三的路程，问小李以该速度步行到单位还需多少分钟？

• A. 15
• B. 20
• C. 30
• D. 40

解析 发现尚有四分之三的路程，说明已经走了路程的四分之一即 $25\%$ ，所以小李在2分钟内前进了 $25\% - 20\% = 5\%$ 的路程，所以剩下 $75\%$ 的路程需要 $2 \times \frac{75\%}{5\%} = 30$ 分钟，选择 C。

方程法 解题思路

设从家到单位的全程为 $D$ 米，步行速度 $v = 80 \text{ 米/分}$。

1. 已知条件转化为方程

   • 先走了 $20\%$ 的路程：$0.2D$。
   • 又走了 2 分钟：$2 \text{ 分} \times 80 \text{ 米/分} = 160 \text{ 米}$。
   • 此时剩余的路程为全程的 $\dfrac34$：$0.75D$。

2. 列式求总路程

   $$\text{剩余路程} = D - (\text{已走路程}) = D - (0.2D + 160) = 0.8D - 160$$

   根据条件 $0.8D - 160 = 0.75D$，解得：

   $$0.8D - 0.75D = 160 \quad\Longrightarrow\quad 0.05D = 160 \quad\Longrightarrow\quad D = 3200\ \text{米}$$

3. 求还需时间

   $$\text{剩余路程} = 0.75D = 0.75 \times 3200 = 2400\ \text{米}$$ $$\text{时间} = \frac{\text{剩余路程}}{v} = \frac{2400}{80} = 30\ \text{分钟}$$

路程不变，速度与时间成反比

例【模版题】 甲乙两车相约从a地前往120公里外的b地，甲车上午八点准时出发，乙车晚出发五分钟，却早到五分钟，且两车的速度之比为8：9，则两车的时速相差了多少千米／小时？

• A. 8
• B. 9
• C. 10
• D. 11

解析 速度比为8：9，所以时间比为9：8，相差 $5 + 5 = 10$ 分钟，所以甲开了90分钟，乙开了80分钟，所以甲的速度 $= \frac{120 \text{ km}}{1.5 \text{ h}} = 80 \text{ km/h}$ ，乙的速度 $= 90 \text{ km/h}$ ，相差 $90 - 80 = 10 \text{ km/h}$ ，所以选择 C。

方程法

1. 设未知量

   • 甲车速度 $v_{\text{甲}}$，乙车速度 $v_{\text{乙}}$。
   • 甲车用时 $t_{\text{甲}}$ 小时，则乙车用时 $t_{\text{乙}}$ 小时。
   • 已知距离 $s = 120\ \text{km}$，速度比 $v_{\text{甲}} : v_{\text{乙}} = 8 : 9$。

2. 列时间关系式

   • 乙车晚出发 5 分钟（$\frac{1}{12}$ 小时），早到 5 分钟（$\frac{1}{12}$ 小时），因此 $$t_{\text{乙}} = t_{\text{甲}} - \frac{1}{6}\ \text{小时}$$

3. 用速度比转化为时间比

   $$\frac{v_{\text{甲}}}{v_{\text{乙}}} = \frac{8}{9} \quad\Longrightarrow\quad \frac{s/t_{\text{甲}}}{s/t_{\text{乙}}} = \frac{t_{\text{乙}}}{t_{\text{甲}}} = \frac{8}{9}$$

   因此

   $$t_{\text{乙}} = \frac{8}{9} t_{\text{甲}}$$

4. 联立求 $t_{\text{甲}}$

   $$t_{\text{甲}} - \frac{1}{6} = \frac{8}{9} t_{\text{甲}} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{1}{9} t_{\text{甲}} = \frac{1}{6} \;\;\Longrightarrow\;\; t_{\text{甲}} = \frac{3}{2}\ \text{小时} = 1.5\ \text{小时}$$

5. 计算两车速度

   $$v_{\text{甲}} = \frac{120}{1.5} = 80\ \text{km/h}, \qquad v_{\text{乙}} = \frac{9}{8} v_{\text{甲}} = 90\ \text{km/h}$$

6. 求速度差

   $$v_{\text{乙}} - v_{\text{甲}} = 90 - 80 = 10\ \text{km/h}$$

例【较难】 小王每天以 $v$ 千米/小时的速度骑车到单位上班，如果速度提高 $20\%$ ，则可以提前10分钟到单位；如果以原速度骑行2千米后再提速 $30\%$ ，也可以提前10分钟到达。问小王家距离单位多少千米？

• A. 5.4
• B. 7.2
• C. 8.5
• D. 9.6

解析 速度提高 $20\%$ 即前后速度比为5：6，路程相同所以时间比为6：5，减少了10分钟，所以原来需要60分钟，现在需要50分钟。后来提速 $30\%$ ，速度比为10：13，则时间比为13：10，减少了10分钟，所以原来需要 $13 \times \frac{10}{3} = \frac{130}{3}$ 分钟，即已经骑了 $60 - \frac{130}{3} = \frac{50}{3}$ 分钟是2千米，所以总路程 $= 2 \times \frac{60}{50/3} = 7.2$ 千米，所以选择B。

方程法

设

• 小王的原速为 $v$（千米/小时）
• 小王家到单位的距离为 $D$（千米）

1. 只把速度提升 20% 时 提升后速度为 $1.2v$。 提前 10 分钟＝$\dfrac{1}{6}$ 小时。

   $$\frac{D}{v}-\frac{D}{1.2v}= \frac{1}{6}$$ $$\frac{D}{v}\Bigl(1-\frac{1}{1.2}\Bigr)=\frac{1}{6} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{D}{v}\cdot\frac{1}{6}= \frac{1}{6}$$

   于是

   $$\boxed{ \displaystyle \frac{D}{v}=1 } \quad\Longrightarrow\quad D=v$$

   因此，距离数值等于原速度的数值（单位相同，均为 km）。

2. 前 2 km 按原速骑，随后提速 30% 时

   • 前 2 km 用时 $\displaystyle \frac{2}{v}$ 小时
   • 剩余 $(D-2)$ km 用时 $\displaystyle \frac{D-2}{1.3v}$ 小时 同样提前 10 分钟：
   $$\frac{2}{v}+\frac{D-2}{1.3v}= \frac{D}{v}-\frac{1}{6}$$

   两边同乘 $v$（因为 $v\neq0$）：

   $$2+\frac{D-2}{1.3}= D-\frac{v}{6}$$

   把第一步得到的 $D=v$ 代入：

   $$2+\frac{D-2}{1.3}= D-\frac{D}{6} \qquad\Longrightarrow\qquad 2+\frac{D-2}{1.3}= \frac{5}{6}D$$

   把分数化成整数系数（乘以 78，最小公倍数）：

   $$78 \times 2+78 \times \frac{D-2}{1.3}=78 \times \frac{5}{6}D$$ $$156+60(D-2)=65D$$ $$156+60D-120=65D\;\Longrightarrow\;36=5D$$ $$\boxed{D=\frac{36}{5}=7.2\text{ km}}$$

3. 验证

   • 原速 $v=D=7.2$ km/h，原行程时间 $=D/v=1$ h (=60 min)。
   • 方案1：提速 20% → 速度 8.64 km/h，时间 $=7.2/8.64=0.8333$ h (=50 min)，提前 10 min。
   • 方案2：前 2 km 用时 $2/7.2 \approx 0.2778$ h ($\approx 16.7$ min)；后 5.2 km 用时 $5.2/(1.3 \cdot 7.2) = 5.2/9.36 \approx 0.5556$ h ($\approx 33.3$ min)。总时间 $\approx 0.8333$ h (=50 min)，同样提前 10 min。 两种情形均满足条件，说明求得的距离是正确的。
   $$\boxed{\text{小王家到单位的距离为 }7.2\text{ 千米}}$$

三、相对运动

题目中给出的速度都是以地球作为参照系的速度，如果我们换参照系为题中某个运动的对象，题目经常会变得更加简单。

相对速度的计算

• 当运动方向相同时，相对速度 $= V_{1} - V_{2}$
• 当运动方向相反时，相对速度 $= V_{1} + V_{2}$

例 小李向东奔跑，每秒5米，小王向东奔跑，每秒4米，则相对于小王，小李的相对速度是？

• 因为方向相同，所以相对速度 $= 5 \text{ m/s} - 4 \text{ m/s} = 1 \text{ m/s}$

如果小李本来在小王西侧100米，那么100秒后相距多少米？

• 因为相对于小王，小李的相对速度 $= 1 \text{ m/s}$ ，所以经过100s，小李会靠近100米，相距 $100 - 100 = 0$ 米。

例 小李向东奔跑，每秒5米，小王向西奔跑，每秒4米，则相对于小王，小李的相对速度是？

• 因为方向相反，所以相对速度 $= 5 \text{ m/s} - (- 4 \text{ m/s}) = 5 \text{ m/s} + 4 \text{ m/s} = 9 \text{ m/s}$

如果小李小王本来相距100米，那么100秒后相距多少米？

• 因为相对于小王，小李的相对速度 $= 9 \text{ m/s}$ ，所以经过100s，小李相对小王多跑出去 $900 \text{ m}$ ，会相距 $100 + 900 = 1000$ 米。

当行程问题中出现多个对象、对具体位置点没有限制时，可以多运用相对运动思想，减少运动个体，简化思维。

例【模版题】 小贾和小李在某400米圆形冰场滑冰，小贾从A点出发顺时针以6米/秒的速度滑行，小李从A点对应直径的另一端点B出发逆时针以4米/秒的速度滑行。问10分钟内他们会相遇几次？

• A. 15
• B. 16
• C. 17
• D. 14

解析 小贾小李相对速度 $= 6 + 4 = 10 \text{ m/s}$ ，假设小贾不动，则小李10分钟一共滑行 $10 \text{ m/s} \times 10 \text{ min} \times 60 \text{ s/min} = 6000 \text{ m}$ ，由于小贾小李初始位置相距200米，所以首次相遇只需要200米，后面每次相遇需要一圈400米，所以一共可以相遇 $1 + \frac{5800}{400} = 15.5$ ，即15次，所以选择A。

方程法

1. 相对速度 两人沿相反方向滑行，合速度为

   $$v_{\text{rel}} = 6\;\text{m/s} + 4\;\text{m/s}=10\;\text{m/s}$$

2. 首次相遇 初始弧长间隔是半圈 $200\text{ m}$。

   $$t_1=\frac{200}{10}=20\text{ s}$$

3. 周期性相遇 每当相对位移再增加一整圈 $400\text{ m}$ 时，二人再次重合。

   $$\Delta t=\frac{400}{10}=40\text{ s}$$

4. 10 分钟内相遇次数 10 分钟 $=600\text{ s}$。满足

   $$t = 20 + 40k \le 600,\quad k\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$$

   最大 $k=\bigl\lfloor\frac{600-20}{40}\bigr\rfloor=14$. 因此 $k=0\sim14$ 共 15 次相遇。

四、追及问题

简单追及问题

例 甲以每小时6千米的速度步行从A地前往B地，在甲出发90分钟时，乙发现甲落下了重要物品，立即骑自行车以每小时12千米的速度追甲，终于在上午11点追上了甲。问甲出发时间是上午几点：

• A. 7
• B. 8
• C. 9
• D. 10

解析 追及问题，观察三要素中出现了 $t_{追及}$ 、$L_{相对}$ 、$V_{相对}$ ，需要计算 $t_{追及}$，那么我们试图通过其他数据计算出所缺的。乙开始追赶甲时，两人相对距离 $= 1.5 \times 6 = 9 \text{ km}$ ，$V_{相对} = 12 - 6 = 6 \text{ km/h}$ ，所以 $t_{追及} = \frac{9}{6} = 1.5 \text{ h}$ ，所以乙开始追赶时间为11：00 - 1：30 = 9：30，此时甲已出发1.5小时，所以甲出发时间为8点，所以选择 B。

追及问题中的比例关系

例【模版题】 有客、货、轿车三车在同一道路上同向匀速行驶，在某时刻，货车在中，客车在前，轿车在后，且三车间距相等。一分钟后，轿车追上了货车；又过了1/2分钟，轿车追上了客车。问再过多少分钟，货车可以追上客车？

• A. $\frac{1}{2}$
• B. 1
• C. $\frac{3}{2}$
• D. 3

解析 三车起始间距相等，所以轿车客车相对距离是轿车货车相对距离的2倍，而追击用时是1.5倍，所以相对速度是 $\frac{2}{1.5}$ 即 $\frac{4}{3}$ 倍。赋值轿车客车相对速度为4，则轿车货车相对速度为3，所以客车货车相对速度为1，而客车货车相对距离与轿车货车相等，所以用时为轿车货车追及用时3倍即3分钟，所以还需要 $3 - 1.5 = 1.5$ 分钟追上。所以选择 C。

方程法 设定初始状态

• 取三车初始等间距为 $d$ $$\text{客车位置}=0,\quad \text{货车位置}=-d,\quad \text{轿车位置}=-2d$$
• 设三车速度分别为 $$v_{\text{客}},\;v_{\text{货}},\;v_{\text{轿}}\;(d/\text{min})$$

1. 1 分钟后：轿车追上货车

   $$-2d+v_{\text{轿}}\cdot1=-d+v_{\text{货}}\cdot1 \Longrightarrow v_{\text{轿}}-v_{\text{货}}=d \tag{1}$$

2. 再过 $\tfrac12$ 分钟（即 1.5 分钟处）：轿车追上客车

   $$-2d+v_{\text{轿}}\cdot1.5=0+v_{\text{客}}\cdot1.5 \Longrightarrow v_{\text{轿}}-v_{\text{客}}=\frac{4d}{3} \tag{2}$$

   由 (1)(2) 得

   $$v_{\text{货}}-v_{\text{客}} = (v_{\text{轿}}-d)-v_{\text{客}} = (v_{\text{轿}}-v_{\text{客}})-d = \frac{4d}{3}-d=\frac{d}{3}$$

   货车比客车每分钟快 $\tfrac{d}{3}$。

3. 货车追上客车所需时间

   • 初始两车间距为 $d$
   • 相对速度为 $\tfrac{d}{3}\text{/min}$ $$t_{\text{总}}=\frac{d}{d/3}=3\text{ min}$$

4. 题问“再过多少分钟”

   • 已经过去 1.5 分钟（轿车追上客车时）
   • 还需 $$3-1.5=1.5\text{ min}$$

环形套圈问题

环形套圈问题中，速度恒定则每套一圈需要用时相同$=\frac{L_{\text{每圈}}}{V_{\text{相对}}}$。

例【模版题】 师范大学体育场的环形跑道长400米，王鹏、李华、周可从同一地点同时同向出发，围绕跑道分别慢跑、快跑和轮滑。已知三人的速度分别是2米/秒、6米/秒和8米/秒，问李华第4次超越王鹏时，周可已经超越了王鹏多少次？

• A. 6
• B. 7
• C. 8
• D. 9

解析 李华每次超越王鹏需要用时 $= \frac{400}{6 - 2} = 100 \text{ s}$ ，所以第4次超越时，是在第400秒时，而周可每次超越王鹏需要用时 $= \frac{400}{8 - 2} = \frac{400}{6}$ 秒，所以400秒时，已经超越了 $\frac{400}{400/6} = 6$ 次，选择A。

方程法

1. 确定相对速度

   • 王鹏：$v_{\text{王}}=2\ \text{m/s}$
   • 李华：$v_{\text{李}}=6\ \text{m/s}$ → 相对速度 $v_{\text{李-王}} = 6-2 = 4\ \text{m/s}$
   • 周可：$v_{\text{周}}=8\ \text{m/s}$ → 相对速度 $v_{\text{周-王}} = 8-2 = 6\ \text{m/s}$

2. 李华第 $k$ 次超越王鹏所需时间 每当李华比王鹏多跑整整一圈（400 m）时就完成一次超越。

   $$t_k = \frac{k \times 400\ \text{m}}{v_{\text{李-王}}} = \frac{k \times 400}{4} = 100k\ \text{s}$$

   对于第 4 次超越：$t_4 = 100 \times 4 = 400\ \text{s}$.

3. 同一时刻周可相对于王鹏的位移

   $$\Delta s_{\text{周-王}} = v_{\text{周-王}} \times t_4 = 6\ \text{m/s} \times 400\ \text{s} = 2400\ \text{m}$$

4. 计算周可超越次数 每超越一次需领先整整一圈（400 m）：

   $$\text{次数} = \frac{2400\ \text{m}}{400\ \text{m/圈}} = 6$$

假设速度最慢的人速度为 0，使用相对速度可以进行快速计算

三人追及问题

多人追及问题可以以其中一位为参照系，研究相对速度与相对运动。

例【模版题】 甲乙丙三人从400米环形跑道的同一起点同时匀速跑步，已知甲乙两人绕跑道逆时针方向跑，丙绕着跑道顺时针方向跑，起步40秒后丙与甲第一次相遇，再过了10秒后，丙与乙第一次相遇，此时甲乙相距多远？

• A. 100米
• B. 50米
• C. 20米
• D. 无法计算

解析 假设丙速度为0，则 $V_{甲相对} = \frac{400}{40} = 10 \text{ m/s}$ ，$V_{乙相对} = \frac{400}{50} = 8 \text{ m/s}$ ，此时甲乙距离 $= \Delta V \times t = (10-8) \text{ m/s} \times 50 \text{ s} = 100$ 米，所以选择A。

方程法 设甲、乙、丙的速度分别为

环形跑道全长为 $L=400$ m。 两人逆向跑时，第一次相遇的条件是它们相对走的路程恰好等于跑道长度。

1. 第一次相遇（丙与甲）

   $$(v_{A}+v_{C})\times 40 = 400 \Longrightarrow v_{A}+v_{C}=10\;(\text{m/s})\tag{1}$$

2. 第二次相遇（丙与乙）

   $$(v_{B}+v_{C})\times 50 = 400 \Longrightarrow v_{B}+v_{C}=8\;(\text{m/s})\tag{2}$$

   由 (1)、(2) 得

   $$v_{A}-v_{B}= (v_{A}+v_{C})-(v_{B}+v_{C}) = 10-8 =2\ \text{m/s}. \tag{3}$$

3. 50 s 时甲、乙之间的距离 在同一方向上跑步，甲、乙的相对位移为

   $$\Delta s = (v_{A}-v_{B})\times t .$$

   取 $t=50$ s 代入 (3)：

   $$\Delta s = 2\ \text{m/s}\times 50\ \text{s}=100\ \text{m}.$$

   因为 $100\ \text{m} < L/2$，这已经是两人之间的最短弧长。

   $$\boxed{100\ \text{米}}$$

五、相遇问题

例【模版题】 甲乙两人从相距10千米的地方相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时跑10千米，当狗碰到乙的时候就往回跑向甲，碰到甲的时候又折回跑向乙，如此反复。

当甲乙两人相遇时，狗跑的路程是：

• A. 10千米
• B. 12千米
• C. 15千米
• D. 20千米

解析

甲和乙的相对速度为

两人相距 10 km，所需相遇时间

狗整个过程中始终以 10 km/h 的速度奔跑，直至甲乙相遇为止。因此狗在这段时间内跑的总路程为

相遇过程中，保持速度不变 则行驶距离比=速度比

例 甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是40千米/小时。当甲车行驶到A、B两地距离的 $\frac{1}{3}$ 处时，再前行50千米与乙车相遇。那么A、B两地的路程是多少千米？

• A. 210
• B. 215
• C. 220
• D. 225

解析

设 A、B 两地相距 $D$ 千米。

• 甲车从 A 出发，速度 $v_1=50$ km/h。
• 乙车从 B 出发，速度 $v_2=40$ km/h。

两车同时相向而行，记它们行驶的相同时间为 $t$ 小时。

1. 甲车到达 $\frac13D$ 处的时刻 甲车行驶的距离是 $\dfrac{1}{3}D$，于是

   $$t=\frac{\frac13 D}{v_1}=\frac{D/3}{50}= \frac{D}{150}\; \text{h}$$

   此时乙车已行驶的距离为

   $$v_2 t = 40\cdot\frac{D}{150}= \frac{4D}{15}\ \text{km}$$

   因此此时两车之间的剩余距离（分离距离）为

   $$\text{间距}= D-\Bigl(\frac13D+\frac{4D}{15}\Bigr)=\frac{2D}{3}-\frac{4D}{15}= \frac{2D}{5}\ (\text{km})$$

2. 甲车再前行 50 km 与乙车相遇 从上述时刻起，甲车继续以 50 km/h 行驶 50 km，需要

   $$\Delta t = \frac{50}{50}=1 \text{ h}$$

   在这 1 小时内，乙车同样向前行驶

   $$v_2\Delta t = 40\cdot 1 = 40\ \text{km}$$

   于是这 1 小时里两车一共缩短的距离为

   $$50+40 = 90\ \text{km}$$

   而这正好等于它们当时的分离距离 $\dfrac{2D}{5}$。于是

   $$\frac{2D}{5}=90\quad\Longrightarrow\quad D=90\cdot\frac{5}{2}=225\ \text{km}$$

例【模版题】 在400米环形跑道上，甲、乙两人同时从起点背向练习跑步。已知甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。当他们第4次相遇时，甲还需要跑多少秒才返回起点？

• A. 40
• B. 45
• C. 50
• D. 55

解析 甲乙速度比为5：3，第4次相遇总路程 $= 4 \times 400 = 1600$ 米，所以甲一共跑了 $1600 \times \frac{5}{5 + 3} = 1000$ 米。1000米对于400米跑道来说是2圈半，即 $1000 = 400 \times 2 + 200$ 米，此时距离起点还有 $200$ 米，需要用时 $t = \frac{200}{5} = 40$ 秒，所以选择 A 。

方程法

1. 相遇时间

   • 两人背向而行，合速度 $$v_{\text{合}} = 5\ \text{m/s} + 3\ \text{m/s} = 8\ \text{m/s}$$
   • 环形跑道长度 $L = 400\ \text{m}$。
   • 第 $k$ 次相遇满足 $$v_{\text{合}}\;t_k = kL \;\Longrightarrow\; t_k = \frac{kL}{v_{\text{合}}}$$
   • 第 4 次相遇： $$t_4 = \frac{4 \times 400}{8} = 200\ \text{s}$$

2. 相遇位置

   • 甲在 200 s 内跑过的路程： $5 \times 200 = 1000\ \text{m}$ $$1000 \bmod 400 = 200\ \text{m}$$
   • 因为 1000 m = 2 圈 (800 m) + 200 m，故甲位于起点对面的 200 m 处。
   • 乙跑 $3 \times 200 = 600\ \text{m}$，同样落在 200 m 处 ($600 \bmod 400 = 200$)，两人相遇合理。

3. 返回起点所需时间

   • 甲距起点还剩半圈 $400/2 = 200\ \text{m}$。
   • 用时 $$t_{\text{回}} = \frac{200\ \text{m}}{5\ \text{m/s}} = 40\ \text{s}$$

当他们第 4 次相遇时，甲还需要 40 秒 才能返回起点。

六、流水行船问题

$V_{\text{船}}$：船只在静水条件下自身的速度 $V_{\text{水}}$：水流速度 $V_{\text{顺}}$：船只顺流而下的速度 $V_{\text{逆}}$：船只逆流而上的速度

例【模版题】 甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时。则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（）小时。

• A. 10
• B. 9
• C. 8
• D. 12

解析 顺水行驶120千米用时6小时，可知 $V_{顺} = \frac{120}{6} = 20 \text{ km/h}$ ；逆水行驶80千米用时8小时，可知 $V_{逆} = \frac{80}{8} = 10 \text{ km/h}$ 。所以 $V_{船} = \frac{V_{顺} + V_{逆}}{2} = \frac{20 + 10}{2} = 15 \text{ km/h}$ ，所以静止水面行驶150千米需要 $\frac{150}{15} = 10$ 小时，所以选择 A 。

方程法

1. 设

   • 船在静水中的速度 $v$（千米/小时）
   • 河水流速 $u$（千米/小时）

2. 根据题意列方程

   • 顺水：$(v+u)\times 6 = 120 \;\Longrightarrow\; v+u = 20$
   • 逆水：$(v-u)\times 8 = 80 \;\Longrightarrow\; v-u = 10$

3. 解方程组

   $$\begin{cases} v+u = 20\\ v-u = 10 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad v = 15,\; u = 5$$

4. 求静水中行驶 150 km 的时间

   $$t = \frac{150}{v} = \frac{150}{15} = 10\ \text{小时}$$

例 一艘船从A地行驶到B地需要5天，而该船从B地行驶到A地需要7天。假设水流速度不变，那么船从A地漂流到B地需要多少天？（漂流即船速为0状态）

• A. 40
• B. 35
• C. 12
• D. 2

解析 往返路程相同，时间与速度成反比。时间比5：7，所以速度比为7：5，必然 $V_{顺} > V_{逆}$ ，所以 $V_{顺}$ 看作7份， $V_{逆}$ 看作5份，总路程为 $5 \times 7 = 35$ 份，则漂流至B地速度为 $V_{水} = \frac{V_{顺} - V_{逆}}{2} = 1$ 份，用时 $t = \frac{35}{1} = 35$ 天，所以选择B。

方程法

1. 设定符号

   • 船在静水中的速度 $v$（单位：千米/天）
   • 河水流速 $u$（单位：千米/天）
   • A、B 两地间距离 $L$（单位：千米）

2. 列方程

   • 顺水（A→B）：$\displaystyle \frac{L}{v+u}=5$
   • 逆水（B→A）：$\displaystyle \frac{L}{v-u}=7$

3. 消元求 $v$ 与 $u$

   $$5(v+u)=7(v-u)$$ $$5v+5u=7v-7u\quad\Longrightarrow\quad 12u=2v\quad\Longrightarrow\quad v=6u$$

4. 求出距离 $L$

   $$L=5(v+u)=5(6u+u)=35u$$

5. 漂流时间（船速为 0，只有水流速度 $u$）

   $$t_{\text{漂}}=\frac{L}{u}=\frac{35u}{u}=35\;\text{天}$$

例 一条客船往返于甲乙两个沿海城市之间，由甲市到乙市是顺水航行，由乙市到甲市是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时25海里。由甲市到乙市用了8小时，由乙市到甲市所用的时间是由甲市到乙市所用时间的1.5倍，则甲乙两个城市相距多少海里？

• A. 240
• B. 260
• C. 270
• D. 280

解析 因为逆流用时为顺流1.5倍，往返路程相同，所以顺流速度是逆流1.5倍，比例关系为3：2。考虑到 $V_{船}$ 是 $V_{顺}$ 、$V_{逆}$ 的中间项（等差数列关系），$V_{逆}、V_{船}、V_{顺}$ 的比例关系为4：5：6，所以 $V_{顺}=25 \times \frac{6}{5} = 30$ 海里/h。所以甲乙两个城市相距 $8\times 30 = 240$ 海里，所以选择A。

方程法

设：

• 船在静水中的速度为 $v_0=25$ 海里/小时
• 逆流（顺流）时的水流速为 $v$ 海里/小时（$v>0$）
• 甲、乙两城之间的距离为 $d$ 海里

顺水航行（甲→乙） 顺水时船相对地面的速度为 $v_0+v$。已知航行时间为 8 小时，所以

逆水航行（乙→甲） 逆水时船相对地面的速度为 $v_0-v$。已知逆水航行时间是顺水时间的 1.5 倍，即

于是

把 (1) 与 (2) 中的 $d$ 相等，得到

代入 $v_0=25$ 并化简：

把 $v$ 代回任意一个距离式中求 $d$：

例【模版题】 一艘轮船先顺水航行40千米，再逆水航行24千米，共用了8小时。若该船先逆水航行20千米，再顺水航行60千米，也用了8小时。则在静水中这艘船每小时航行（）千米。

• A. 11
• B. 12
• C. 13
• D. 14

解析 两种情况出现了重复的相同部分，剔除相同部分可知20千米顺水航行用时与 $(24-20)=4$ 千米逆水航行用时相等，则 $\frac{20}{V_{顺}} = \frac{4}{V_{逆}}$，即 $V_{顺} : V_{逆} = 5:1$。假设 $V_{顺} = 5v$ ，$V_{逆} = v$ ，则 $\frac{40}{5v} + \frac{24}{v} = 8$ ，解得 $v = 4 \text{ km/h}$ ，所以 $V_{顺} = 20 \text{ km/h}$ ，$V_{逆} = 4 \text{ km/h}$ ，所以 $V_{船} = \frac{V_{顺} + V_{逆}}{2} = 12 \text{ km/h}$ ，选择 B。

方程法 我们设船在静水中的速度为 $v$ （千米/时），水流速度为 $u$ （千米/时）。则：

1. 顺水航行速度：$v+u$； 逆水航行速度：$v-u$。

2. 根据题意列出方程：

   $$\begin{cases} \dfrac{40}{v+u}+\dfrac{24}{v-u}=8,\\[6pt] \dfrac{60}{v+u}+\dfrac{20}{v-u}=8. \end{cases}$$

3. 为方便计算，设 $x = \frac{1}{v+u}, y = \frac{1}{v-u}$

   $$\begin{cases} 40x + 24y = 8 \\ 60x + 20y = 8 \end{cases}$$

   解得 $x=\frac{1}{20}, y=\frac{1}{4}$

4. 所以 $v+u=20, v-u=4$。解得 $v=12, u=8$。

因此，船在静水中的航速是 $\boxed{12}$ 千米/时。

例【较难】 一艘维修快艇沿着河流逆流而上执行维修任务，快艇航行到途中某处时工具包掉进了河里，10分钟后，驾驶员到达目的地时发现工具包丢失后立即返回追寻，已知水的流速为每秒1米，如果工具包会浮在水面上漂流，那么驾驶员将在距离丢失处（）米的地方找回工具包。

• A. 640
• B. 900
• C. 1080
• D. 1200

解析 以水流为参照系，工具包的速度为 $0 \text{ m/s}$ ，是静止的。快艇前10分钟逆流而上，相当于以静水速度 $V_{船}$ 离开工具包；返回时顺流而下，相当于以静水速度 $V_{船}$ 靠近工具包。速度大小不变，路程相同，所以回来依旧需要10分钟。所以找回工具包时，工具包已经漂流了 $10 + 10 = 20$ 分钟，距离丢失处 $= 20 \text{ min} \times 60 \text{ s/min} \times 1 \text{ m/s} = 1200$ 米，所以选择 D。

方程法 设快艇在静水中的速度为 $v$（m/s），水流速度为 $u=1$ m/s。

• 掉包到到达目的地间： 时间 $t_1=10$ min = 600 s。 快艇逆流继续行驶的距离：$(v-u)\,t_1$。 工具包随流下漂的距离：$u\,t_1$。

• 返回追包时： 起始时，目的地到包的位置相距

  $$(v-u)\,t_1 + u\,t_1 = v\,t_1$$

  快艇顺流速度为 $v+u$，而包漂速为 $u$，相对追赶速度为

  $$(v+u) - u = v$$

  因此追上所需时间

  $$t_2 = \frac{v\,t_1}{v} = t_1 = 600\text{ s}$$

• 相遇时包漂移的总距离：

  $$u\,(t_1 + t_2) = 1 \times (600 + 600) = 1200\text{ m}$$

答： 驾驶员将在距离丢失处 1200 米 的地方找回工具包。

七、等路程平均速度问题

L1段速度为 $V_1$ ，$L_2$ 段速度为 $V_2$ ，若 $L_1 = L_2 = L$ 则

常用调和平均数：10、12、15、20、30、60；缩小比例：2、3、6；3、4、6。

出题人往往会按照调和平均数组比例设置数据出题，但不可依赖，能蒙对是情分，会算是本分。

如等距离问题，一半路程速度为15，一半路程速度为30，则根据调和平均数比例关系我们可知整体平均速度为20

例【模版题】 小明开车去姐姐家的速度为30公里/时，开车回家的速度为60公里/时，则小明开车往返的平均速度是（）公里/时。

• A. 50
• B. 45
• C. 30
• D. 40

解析 小明从家到姐姐家来回路程相同，考察等路程平均速度。 $V_{平均} = \frac{2V_1V_2}{V_1 + V_2} = \frac{2\times 30\times 60}{30 + 60} = 40 \text{ km/h}$ ，所以选择D。注：调和平均数组比例：3、4、6，所以30、60的调和平均数为40，选择D

例【模版题】 小明从家到学校去上学，先上坡后下坡。到学校后，小明发现没带物理课本，立刻回家拿书，往返共用36分钟，假设小伟上坡速度为80米/分钟，下坡速度为100米/分钟，小伟家到学校有多远？

• A. 2400米
• B. 1720米
• C. 1600米
• D. 1200米

解析 若小明从家到学校上坡路程为L1，下坡路程为L2；则小明从学校回家上坡路程为L2，下坡路程为L1，所以往返路程中上坡总路程为L1+L2，下坡路程同样为L1+L2，则可以使用等距离平均速度公式计算整体平均速度 $V_{平均} = \frac{2V_1V_2}{V_1 + V_2} = \frac{2\times 80\times 100}{80 + 100} = \frac{16000}{180} = \frac{800}{9} \text{ m/min}$ ，总路程是 $V_{平均} \times T_{总} = \frac{800}{9} \times 36 = 3200$米，单程是1600米。所以选择 C。

方程法 我们设家到学校的路分为两段：

• 上坡段距离为 $x$（米），上坡速度为 80 米/分钟；
• 下坡段距离为 $y$（米），下坡速度为 100 米/分钟。

去程耗时

返程耗时 返程时，原来下坡的路变为上坡，原来上坡的路变为下坡：

总耗时

合并同类项：

题中给出 $T_{\rm 总}=36$ 分钟，因此

例 一条长146公里的山区公路分为上坡、平地和下坡三段，其中上下坡的距离相等。某越野车以上坡 $20 \text{ km/h}$ ，平地 $30 \text{ km/h}$ ，下坡 $50 \text{ km/h}$ 的速度行驶，跑完该条公路正好用时5小时，问该公路中的平地路程为多少公里？

• A. 40
• B. 55
• C. 66
• D. 75

解析 设上坡和下坡各为 $d$ 公里，平地为 $f$ 公里，则有

各段用时：

• 上坡：$\displaystyle \frac{d}{20}$ 小时
• 平地：$\displaystyle \frac{f}{30}$ 小时
• 下坡：$\displaystyle \frac{d}{50}$ 小时 总用时为 5 小时，故

将 $f=146-2d$ 代入：

两边同乘 300 得：

于是平地路程

答：该山区公路中的平地路程为 66 公里。

八、匀变速运动问题

（a）

(B)

路程 = v-t 图像下方与 x 轴形成的面积。

$V = V_0 + a\times t$

平均速度 = $\frac{初速度 + 末速度}{2}$

总路程 $S = \frac{初速度 + 末速度}{2} \times 时间$

总路程 $S = V_0 t + \frac{1}{2}a t^2$

例【模版题】 一辆车从甲地行驶到乙地共20千米，用时20分钟，已知该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行驶的最大速度是多少千米/小时？

• A. 100
• B. 108
• C. 116
• D. 120

解析 假设最大速度为 $v$ ，则匀加速阶段从 $0\to v$ ，平均速度 $= \frac{1}{2}v$ ，匀减速阶段从 $v\to 0$ ，平均速度 $= \frac{1}{2}v$ ，所以从甲到乙平均速度为 $\frac{1}{2}v = \frac{20 \text{ km}}{20/60 \text{ h}} = 60 \text{ km/h}$ ，所以最大速度 $v = 60\times 2 = 120 \text{ km/h}$ ，选择 D 。

方程法 设：

• 全程距离 $S=20$ km，
• 全程时间 $T=20$ min $=\tfrac{1}{3}$ h，
• 加速阶段用时 $t_1$，减速阶段用时 $t_2$，
• 最大速度为 $V_{\max}$，
• 且假设加速和减速的加速度大小相同（对称过程），即 $t_1=t_2$.

1. 分段时间 由于全程由“匀加速 → 达到 $V_{\max}$ → 匀减速”两段组成，且对称，有

   $$T = t_1 + t_2 = 2t_1 \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{T}{2} = \frac{1/3}{2} = \frac{1}{6}\ \mathrm{h}.$$

2. 分段路程

   • 加速阶段从静止匀加速到 $V_{\max}$，路程 $$S_1 = \tfrac12 a t_1^2 \quad\text{且}\quad V_{\max}=a t_1 \;\Longrightarrow\; S_1 = \tfrac12 V_{\max} t_1.$$
   • 减速阶段对称，也为 $\displaystyle S_2=\tfrac12 V_{\max} t_1$.
   • 因此全程 $$S = S_1 + S_2 = \tfrac12 V_{\max} t_1 + \tfrac12 V_{\max} t_1 = V_{\max} t_1.$$

3. 求 $V_{\max}$

   $$V_{\max} = \frac{S}{t_1} = \frac{20\ \mathrm{km}}{1/6\ \mathrm{h}} = 20 \times 6 = 120\ \mathrm{km/h}.$$

例【较难】 一辆汽车在高速公路上以60公里/小时的速度匀速行驶，此时司机开始以固定的加速度进行加速，加速后50秒内，汽车行驶了1公里。则汽车从开始加速，到加速至高速公路的速度上限120公里/小时需要多长时间？

• A. 100秒
• B. 125秒
• C. 150秒
• D. 180秒

解析 加速50s内平均速度即匀加速中间时刻（25s时）的速度 $= \frac{1 \text{ km}}{50 \text{ s}} = 72 \text{ km/h}$ ，而初速度为 $60 \text{ km/h}$ ，所以25s可以提高 $12 \text{ km/h}$ ，现要从 $60 \text{ km/h}$ 提高到 $120 \text{ km/h}$ ，需要提高 $60 \text{ km/h}$ ，则需要 $25 \times \frac{60}{12} = 125 \text{ s}$ ，所以选择B。

方程法

• 初始匀速：$v_0=60\text{ km/h} = \dfrac{60\times1000}{3600}=\frac{50}{3}\ \text{m/s}$
• 加速后 50 s 内行驶距离：$s=1\text{ km}=1000\ \text{m}$
• 加速度保持不变（设为 $a$）

1. 求加速度 $a$ 在匀加速运动里

代入 $t=50\text{ s},\;s=1000\text{m}$：

计算：

2. 求达到最高限速 120 km/h 所需的时间 最高限速：

需要的速度增量

在匀加速情况下，所需时间

九、钟面问题

• 分针速度 $V_{分钟}=360^{\circ}/60\text{min} = 6^{\circ}/\text{min}$ ，即分针每分钟转动 $6^{\circ}$
• 时针速度 $V_{时针}=30^{\circ}/60\text{min} = 0.5^{\circ}/\text{min}$ ，即时针每分钟转动 $0.5^{\circ}$
• 两者速度差为 $6^{\circ}/\text{min} - 0.5^{\circ}/\text{min} = 5.5^{\circ}/\text{min}$ ，利用此速度差可解决时钟上分针追及时针的角度、时间等追及类问题 ，比如计算从某一时刻起，经过多久分针能追上时针并重合等情况 。

例【模版题】 现在时间为4点13分，此时时针与分针成什么角度：

• A. 30度
• B. 45度
• C. 90度
• D. 120度

解析 4点13分，时针在4点出头一点，分针在不到3点位置(15分)，两者间隔在一个刻度(30度)至两个刻度(60度)之间，所以角度在30度至60度之间，选项中只有 $45^{\circ}$ 符合，所以选B。

详细计算 要计算4:13时针与分针的夹角，按如下步骤：

1. 分针角度 分针每分钟转6°，13分钟后：

   $$\theta_{\text{分}} = 13 \times 6° = 78°$$

2. 时针角度 时针每小时转30°，每分钟额外转0.5°，4小时13分钟后：

   $$\theta_{\text{时}} = 4\times30° + 13\times0.5° = 120° + 6.5° = 126.5°$$

3. 夹角 取两者差的绝对值：

   $$|\theta_{\text{时}} - \theta_{\text{分}}| = |126.5° - 78°| = 48.5°$$

   因此，此时针与分针的夹角为 48.5°。

例 上午11点40分，钟表的时针和分针的夹角为（）度。

• A. 110
• B. 90
• C. 105
• D. 95

解析 11点整时，时针分针夹角为 $\frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$ ，因为分针、时针速度差为 $5.5^{\circ}/\min$ ，所以经过 $40\min$ 后，分针额外多转 $5.5\times 40 = 220^{\circ}$ ，分针顺时针方向领先 $220^{\circ} - 30^{\circ} = 190^{\circ}$ ，所以夹角为 $360^{\circ} - 190^{\circ} = 170^{\circ}$。 换个思路: 11点40分，分针指向8，时针在11和12之间，偏向12。分针在 $40 \times 6 = 240^\circ$。时针在 $11 \times 30 + 40 \times 0.5 = 330 + 20 = 350^\circ$。夹角是 $350 - 240 = 110^\circ$。选择A。

详细计算

上午 11 点 40 分 时

• 分针走的角度

  $$40 \text{ 分} \times 6^\circ\!/\text{分}=240^\circ$$

• 时针走的角度

  $$11\text{ 小时}\times30^\circ\!/\text{时}+40\text{ 分}\times0.5^\circ\!/\text{分} = 330^\circ+20^\circ=350^\circ$$

  两针之间的夹角为它们角度的差的绝对值：

  $$|350^\circ-240^\circ|=110^\circ$$

  因为 $110^\circ < 180^\circ$，它就是较小的夹角。

答案： $\boxed{110^\circ}$。

例【较难】 小强同学吃完中饭发现他家时钟的时针和分针刚好垂直，且时针刚过12，分针刚过3，问时针和分针再次垂直至少要过（）小时。

• A. $\frac{3}{11}$
• B. $\frac{6}{11}$
• C. $\frac{2}{3}$
• D. $\frac{3}{4}$

解析 当前分针顺时针方向领先时针 $90^{\circ}$ ，下次垂直需要分针顺时针追上并再次领先时针 $90^{\circ}$，所以需要分针额外走 $180^{\circ}$ ，分针时针速度差为 $5.5^{\circ}$/分钟，所以需要用时 $= \frac{180^{\circ}}{5.5 \text{ deg/min}} = \frac{360}{11}$ 分钟 $= \frac{360}{11 \times 60}$ 小时 $= \frac{6}{11}$ 小时，所以选择 B。

例【较难】 自中午12点以后，12小时内时针与分针会有（）次呈直角？

• A. 23
• B. 22
• C. 12
• D. 11

解析 在 12 小时内，时针与分针相互成 90°（即直角）的次数为 22 次。

推导简要说明：

• 分针转速为 6°/分钟，时针转速为 0.5°/分钟，二者相对转速为 5.5°/分钟。
• 当二者形成直角时，它们的相对角度为 90°、270°、450°…，即满足 $$5.5t = 90^\circ + 180^\circ k\quad(k=0,1,2,\dots)$$
• 由此求得 $$t = \frac{90+180k}{5.5}\;\text{分钟}$$
• 只要 $t \le 12\text{h}=720\text{min}$。求解 $$\frac{90+180k}{5.5}\le720\;\Longrightarrow\;k\le21.5$$
• 故整数 $k$ 可以取 $0,1,2,\dots,21$，共 22 个解。

因此，从正午 12 点起的 12 小时内，时针和分针会 22 次呈直角。

例【较难】 某伐木工6：00开始工作，将1根长木头锯成6段，锯完时发现时针、分针第一次重合。若该伐木工工作效率不变，现需将11根长木头均锯成5段，且8：00开始连续工作，则他将这些长木头锯完时的时间是：

• A. 11:30
• B. 12:48
• C. 13:00
• D. 13:15

解析

先求每锯一刀所用时间：

• 从 6:00 到时针与分针第一次重合的时刻，设经过 $t$ 分钟： $$6t = 180 + 0.5t \quad\Longrightarrow\quad 5.5t = 180 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{180}{5.5} = \frac{360}{11}\text{ 分钟}.$$
• 将一根木头锯成 6 段需锯 5 刀，平均每刀用时 $$\frac{360/11}{5} = \frac{72}{11}\text{ 分钟}.$$

下一步：把 11 根木头各锯成 5 段，共需锯 $11\times4=44$ 刀，所用时间

从 8:00 开始加，结束时间为 $8:00+4\!:\!48=12:48$。

故选 B. 12:48。

十、间歇行程问题

例【较难】 甲、乙从湖边同一地点同时出发沿相反方向绕行。已知湖的周长为20千米，甲、乙的速度分别为 $4 \text{ km/h}$ 和 $6 \text{ km/h}$ 。若甲每走1小时后休息5分钟，乙每走50分钟后休息10分钟，那么两人从出发到再次相遇需用多少分钟（）。

• A. 128
• B. 136
• C. 138
• D. 145

解析 甲乙每前进一段时间就休息一段时间，两人总周期不一致，考虑代入选项验证。选择中间位置选项B，136分钟验证。

• 甲的周期：60分钟走，5分钟休。136分钟内，甲经历了 $136 = 2 \times 65 + 6$。所以甲运动了 $2 \times 60 + 6 = 126$ 分钟，休息了 $2 \times 5 = 10$ 分钟。甲走了 $126 \text{ min} \times 4 \text{ km/h} \times \frac{1h}{60min} = 8.4$千米。
• 乙的周期：50分钟走，10分钟休。136分钟内，乙经历了 $136 = 2 \times 60 + 16$。所以乙运动了 $2 \times 50 + 16 = 116$ 分钟，休息了 $2 \times 10 = 20$ 分钟。乙走了 $116 \text{ min} \times 6 \text{ km/h} \times \frac{1h}{60min} = 11.6$ 千米。
• 总路程 $8.4 + 11.6 = 20$ 千米，正好环绕一圈，所以136分钟时两人相遇，选择B选项。

详细模拟

1. 把行走-休息规律换算成时间轴

2. 判定相遇条件
   • 两人沿相反方向行走，当相对位移首次达到湖周长 20 km时，恰好在同一点相遇。
   • 上表可见，累积到 130 min 已走 19 km，还差 1 km；相对速度 10 km/h，再走 $1/10$ h = 6 min 即可完成。
   • 因此总用时 $130+6=136$ min，满足选项 B。

结论：两人再次相遇所需时间为 136 分钟。

例【较难】 夫妻二人绕周长400米的环形操场跑道健步走，从起点按逆时针方向同时出发，丈夫每分钟走100米，妻子每分钟走80米，两人都是每走200米停下休息1分钟，丈夫（）分钟后可追上妻子并在一起休息1分钟。

• A. 39
• B. 40
• C. 41
• D. 42

解析

• 丈夫：走200米用时 $200/100=2$ 分钟，休息1分钟。周期3分钟。
• 妻子：走200米用时 $200/80=2.5$ 分钟，休息1分钟。周期3.5分钟。 丈夫要追上妻子，需要比妻子多走400米。 设时间为 $t$ 分钟。
• 丈夫走的距离：$D_夫 = 100 \times (t - \lfloor\frac{t}{3}\rfloor)$
• 妻子走的距离：$D_妻 = 80 \times (t - \lfloor\frac{t}{3.5}\rfloor)$ 需要 $D_夫 - D_妻 = 400$。 代入C选项41分钟：
• 丈夫：$t=41$, $\lfloor\frac{41}{3}\rfloor=13$。运动时间 $41-13=28$分钟。路程 $28 \times 100 = 2800$米。
• 妻子：$t=41$, $\lfloor\frac{41}{3.5}\rfloor=\lfloor11.7\rfloor=11$。运动时间 $41-11=30$分钟。路程 $30 \times 80 = 2400$米。
• 路程差 $2800-2400=400$米。 同时，在41分钟时，丈夫刚跑完 $28 \times 100 = 2800$米，是200的倍数，要休息。 $28/2 = 14$ 个2分钟周期。第 $14 \times 3 - 1 = 41$分钟，处于休息时间。 妻子跑了 $30 \times 80 = 2400$米，是200的倍数，也要休息。 $30/2.5 = 12$ 个2.5分钟周期。第 $12 \times 3.5 - 1=41$分钟，处于休息时间。 所以两人在第41分钟追上并一起休息。选择C。