数量关系 第十四课 特殊题型

一、魔方问题

边长为a的正方体切成 $a\times a\times a$ 个小正方体块:

• 涂1个面的个数 $= 6 \times (a-2)^2$
• 涂2个面的个数 $= 12 \times (a-2)$
• 涂3个面的个数 $= 8$
• 未涂上颜色的个数 $= (a-2)^3$

例 将一个边长为3厘米的正方体木块的表面涂成红色，接着将木块锯成27个边长为1厘米的小正方体木块，问至少要锯多少次？若从27个小正方体木块中任取一个，刚好取到只有一面为红色木块的概率是多少？（）

A. $6, \frac{6}{27}$ B. $6, \frac{8}{27}$ C. $12, \frac{6}{27}$ D. $12, \frac{8}{27}$

解析 边长3cm的正方体切割为27块1cm边长的小正方体木块，需要长宽高三个方向各切2刀变成3列，所以一共 $3\times 2 = 6$ 刀，排除选项 CD。 27个小立方块中只有一面为红色的木块是6个表面的中间部分，共有 $6\times 1 = 6$ 个，所以只取1块取到只有一面为红色的概率 $= \frac{6}{27}$ ，选择A。

例 一个边长为8的立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂上颜色，问被涂上颜色的小立方体有多少个？

A. 296 B. 324 C. 328 D. 384

解析 大立方体一共有 $8^{3} = 512$ 个小立方体，其中没涂颜色的有 $6^{3} = 216$ 个小立方体，所以涂上颜色的小立方体共有 $512 - 216 = 296$ 个，选择A。

例 将一个表面染色的正立方体分割成边长为1的小正方体，发现未被染色的小正方体的数目与只有一面被染色的小正方体数目相等，则只有两面被染色的小正方体有（）个。

A. 64 B. 48 C. 72 D. 96

解析 假设大立方体边长为 $a$ ，则未染色的小正方体个数为 $(a - 2)^3$ ，只有一面被染色的小立方体个数为 $6 \times (a - 2)^2$ ，所以 $(a - 2)^3 = 6 \times (a - 2)^2$ ，解得 $a = 2$ 或者 8， $a = 2$ 时，不存在未被染色或者只有一面被染色的小立方体，与题意不符，所以 $a = 8$ 。所以只有两面被染色的小正方体有 $12 \times (8 - 2) = 72$ 个，选择 C。

二、称硬币问题

原理

当知道一堆硬币中存在一个相对较重的次品硬币时，需要几次才可以把它找出来？

1. 如果只有 3 枚硬币，一枚次品较重，则只需要 1 次。 将 3 枚分成 3 堆，任意称 2 堆，如果不一样重，则重的那个是次品；如果一样重，则剩下那堆是次品。

2. 同理，如果有 $3^{n}$ 枚硬币，则需要 n 次。 将 $3^{n}$ 枚分成 3 堆，每堆 $3^{n-1}$ 个，任意称 2 堆，如果不一样重，则重的那堆里有次品；如果一样重，则剩下那堆有次品。 接着将找到的 $3^{n - 1}$ 个分成 3 堆... 循环操作，最终在称了 n 次后可以找到次品。

3. 如果有 $3^{n} + a$ 枚最多需要几次？ $n + 1$ 次。 $(3^{n}< 3^{n} + a\leqslant 3^{n + 1})$

   证明：假设 $3^{n} + a$ 枚需要 $a_{n}$ 次，则 $3^{n - 1} + a$ 枚需要 $a_{n - 1}$ 次 依旧分3堆尽量取整得到2堆 $3^{n - 1} + b$ 与1堆 $3^{n - 1} + c$ （因为任意整数除3的余数只有0、1、2，不管 $3^{n} +a$ 除3余几，都会有至少2堆一样重的。），其中 $3^{n - 1}< 3^{n - 1} + b, 3^{n - 1} + c\leqslant 3^{n}$ 。与先称2堆一样多的，如果一样重，则次品在剩下那堆 $3^{n - 1} + c$ 中，如果不一样重，则次品在重的那堆 $3^{n - 1} + b$ 中。后续不管是称 $3^{n - 1} + b$ 、还是 $3^{n - 1} + c$ ，都需要 $a_{n - 1}$ 次，所以得到关系 $a_{n} = a_{n - 1} + 1$ 。而易得 $a_{1} = 2$ （比如8枚最多只要2次，第一步 $2 + 3 + 3$ ，第二步 $1 + 1$ 或者 $1 + 1 + 1$ ）所以 $a_{n} = n + 1$

结论

n 次称重可以解决最多 $3^{n}$ 枚硬币问题。

例 有 24 个外形完全相同的小零件，其中 23 个是正品，一个是次品，正品重量都相等，次品比正品稍重一些，用天平（无砝码）称，至少称（ ）次可以把次品找出来。

A. 3 B. 4 C. 12 D. 23

解析 因为 $3^{2} < 24 < 3^{3}$ ，所以至少3次即可把次品称出来。选择A。 其他比较复杂的称重型问题，问最少次数的，不会做就选最少，正确概率相对高一点。转化为对数形式，可得n个硬币，知道次品轻/重，需要 $\log_3^N$ 次称重，向上取整。

拓展

• n个硬币，不知道次品轻/重，需要 $\log_3^{2N + 1}$ 次称重找出，向上取整。
• n个硬币，不知道次品轻/重，需要 $\log_3^{2N + 3}$ 次称重找出并判断轻/重，向上取整。

三、空瓶换酒问题

1. a瓶空瓶可以换1瓶酒，需要买b瓶酒可以喝到c瓶酒，则 $\frac{c}{b} = \frac{a}{a - 1}$
2. a瓶空瓶可以换1瓶酒，有b个空瓶，则可以换 $\frac{b}{a - 1}$ 瓶酒

例 若13个矿泉水空瓶可以免费换1瓶矿泉水，现有196个矿泉水空瓶，最多可以免费喝（）瓶矿泉水。

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

解析 13空瓶 $= 1$ 水 $+1$ 空瓶，所以12个空瓶的价值等于1瓶水，所以196空瓶可以换 $\lfloor\frac{196}{12}\rfloor = 16$ 瓶矿泉水，所以选择A。

例 “红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？

A. 296 B. 298 C. 300 D. 302

解析 假设买了x瓶啤酒，因为7空瓶换1瓶啤酒，所以 $\frac{347}{x} = \frac{7}{7 - 1}$ ， $x = 347 \times \frac{6}{7} \approx 297.4$ 瓶，所以张先生至少买了298瓶啤酒，选择B选项。

四、称重问题

例 4个大小不同的苹果。两两称重，称得的重量分别为297克、339克、375克、390克、432克。其中有两个苹果没有在一起称过，那么这两个苹果中较轻的那个多少克？（）

A. 156 B. 198 C. 216 D. 222

解析 观察发现 $297 + 432 = 339 + 390 = 729$ ，所以剩下没在一起称过的两个苹果总重 $= 729 - 375 = 354$ 克，所以较轻的那个 $< 354\div 2 = 177$ 克，只有A满足，所以选择A选项。

例 有4位同学的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别是99，113，125，130，144，其中有两人没有一起称过，这两个人中体重较重的人的体重是（）千克。

A. 66 B. 67 C. 68 D. 69

解析 假设4人体重由轻至重分别为a、b、c、d。因为 $99 + 144 = 113 + 130 = 243$ ，所以没有一起称过的两人体重和 $= 243 - 125 = 118$ 。两两之和由轻至重为99、113、118、125、130、144。所以可知 $a + b = 99$ ， $a + c = 113$ $b + d = 130$ $c + d = 144$ 这四组明确大小顺序的组合，仅剩 $a + d$ 与 $b + c$ 无法确定哪一组是118。作差可知 $(a + c) - (a + b) = c - b = 14$ ， $(c + d) - (a + c) = d - a = 31$ ，所以 $c + b$ 是偶数， $a + d$ 是奇数。 $b + c = 118$ ， $c - b = 14$ ，则 $b = 52$ ， $c = 66$ 所以选择A。

五、货物集中问题

原理

不看距离，只看重量，找到重量的平衡点。

例 某电商平台每隔5千米有一座仓库，共有A、B、C、D四座仓库，图中数字表示各仓库库存货物的吨数。现需要把所有的货物集中存放在其中某一个仓库中，如果每吨货物运输1千米需要运费3元，要使运费最少，则需将货物集中到哪座仓库？

A. 仓库A B. 仓库B C. 仓库C D. 仓库D

解析 $A + B < C + D$ ，所以在右侧C、D中。 $A + B + C > D$ ，所以集中到仓库C。

例 某企业有甲、乙、丙三个仓库，且都在一条直线上，之间分别相距1千米、3千米，三个仓库里面分别存放货物5吨、4吨、2吨。如果把所有的货物集中到一个仓库，每吨货物每千米运费是90元，请问把货物放在哪个仓库最省钱：

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲或乙

解析 甲(5) < 乙(4) + 丙(2)，所以不在甲。丙(2) < 甲(5) + 乙(4)，所以不在丙。平衡点在乙仓库，所以选择 B。

例 一条公路沿线顺次有甲、乙、丙、丁、戊5个仓库，相邻仓库间隔100千米。甲仓库有10吨货物，乙仓库有20吨货物，戊仓库有40吨货物，其余两个仓库无货物。现在准备把所有货物集中到一个仓库里，如果每吨货物运输成本是每千米1元运费，那么运费最少是多少元？

A. 9000 B. 10000 C. 11000 D. 12000

解析 因为戊(40) > 甲(10) + 乙(20) + 丙(0) + 丁(0) = 30，所以平衡点就在戊上，所以货物要集中到戊仓库。运费 $= 10\times 400 + 20\times 300 = 10000$ 元，所以选择 B。

六、轮流取物必胜问题

轮流取物必胜问题是著名的巴什博弈的一种。从n个物品中轮流取物，至少1个至多m个，最后取光者胜。在这个问题中，只要可以给对方留下（ $m + 1$ ）的倍数个就可以保证胜利。所以如果n是（ $m + 1$ ）的整数倍，则后手赢，否则先手赢。

例 袋子里有100个球，甲乙轮流取，规定每次只能取1- 5个，取走最后一个球的人获胜，若甲先取，甲第一次需要取出多少个才能保证胜利？

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 甲需要给乙留下 $1 + 5 = 6$ 的倍数个球即可保证胜利， $100 - 4 = 96 = 6\times 16$ ，所以甲第一次需要取出4个，剩下96个，后面不管乙取几个，甲都保证两人一轮一共取6个即可。所以选择D。

变形

例 桌子上放有2018枚硬币，小芳、小强两人轮流取走其中一些。当小芳取硬币时，只能取2枚或4枚；当小强取硬币时，只能取1枚或3枚，取走最后一枚硬币的人即为获胜者，假设两人均使用最佳策略，则（）能获胜。

A. 先取者 B. 后取者 C. 小芳 D. 小强

解析 小芳2枚或者4枚，小强1枚或3枚，两人只能保证一轮为5枚（ $2 + 3$ 或者 $1 + 4$ ），而 $2018 = 403\times 5 + 3$ ，所以需要一次性取走3枚才能保证必胜，所以小强必胜，选择 D。

分析：如果小芳先取，小芳无法取走3枚，反而小强可以不管小芳取多少都保证一轮取走5枚，从而最后 $2018 - 2015 = 3$ ，剩下3枚，此时小芳只能取走2枚，小强取走最后1枚获胜。 如果小强先取，小强取走3枚，剩下2015枚，不管小芳取多少小强都保证一轮取走5枚，最后小强取完获胜。总之，不管谁先取，都是小强获胜。

七、联通路径最短

例 某科技园区计划铺设电缆联通A、B、C、D、E、F六栋办公楼，可以铺设电缆的线路如下图所示，每条边上的数字表示两栋楼之间线路的长度（单位：10米），则铺设电缆的总长度最短是（）。

A. 280米 B. 290米 C. 310米 D. 350米

解析 6栋办公楼联通至少需要5条线路，最短的5条线路 $= AB + AC + BC + CF + AD = 40 + 50 + 60 + 60 + 70 = 280$ 米。此时E和D必然少连一个，ABC处多余一条，所以取消一条ABC处最长的BC、连接最短到达E的BE，总长度 $= 280 - 60 + 70 = 290$ 米，所以选择B选项。

例 燃气公司欲在某新建楼盘内铺设天然气管道连通所有住宅楼，楼与楼之间可铺设管道的路线如图所示，圆圈表示各住宅楼，线段及线上数字表示路线及其长度（单位：百米），则铺设的管道最短长度是：

A. 1800米 B. 1850米 C. 1950米 D. 2000米

解析 6 栋楼联通至少需要 5 条线路，最短的 5 条线路 =CD+CE+AF+AC+DE=250+300+300+400+500=1750 米，此时 B 没有连上，CDE 处多余一条，所以取消 CDE 处一条最长的 DE、连接到达 B 最短的 BD，总长度 =1750- 500+600=1850 米，所以选择 B 选项。