第三章 经济利润

一、基本方程运算

核心公式

总利润 = 单件利润 × 销售量（注：仅在进货量 = 销售量时成立）

总利润 = 总收入 - 总成本

例题1：基础利润计算

题目：某商品上月售价为进价的 1.4 倍，销售 m 件。本月该商品进价下降 20%，售价不变，销售利润为上月的 1.8 倍。那么本月的销售量为多少件？

• A. 1.3m
• B. 1.25m
• C. 1.2m
• D. 1.15m

解析：

设上月进价为 10，则：

• 上月售价 = 14
• 上月单件利润 = 4
• 上月总利润 = 4 × m

本月进价下降 20%：

• 本月进价 = 8
• 本月售价 = 14（不变）
• 本月单件利润 = 6
• 本月总利润 = 4 × m × 1.8 = 7.2m

本月销量 = 总利润 ÷ 单件利润 = 7.2m ÷ 6 = 1.2m

答案：C

方程法 设上月进价为 $c$，售价为 $1.4c$，销量为 $m$。

• 上月每件利润：$1.4c-c=0.4c$，总利润：$0.4cm$。
• 本月进价降 $20\%$ 为 $0.8c$，售价不变仍为 $1.4c$。 本月每件利润：$1.4c-0.8c=0.6c$。设本月销量为 $x$，总利润：$0.6cx$。

题给：本月总利润是上月的 $1.8$ 倍：

答： 本月销售量为 $1.2m$ 件（比上月多 $20\%$）。

份数思想解法

• 上月：进价 10 份，售价 14 份，单件利润 4 份
• 本月：进价下降 20% → 减少 2 份 → 进价 8 份
• 单件利润变为 6 份（原利润的 1.5 倍）
• 总利润变为 1.8 倍，销量 = 1.8 ÷ 1.5 = 1.2 倍

例题2：总利润计算

题目：某种蔬菜进价 5 元/斤，售价 10 元/斤，当天卖不完的蔬菜不再出售。过去 7 天里，菜商每天购进该种蔬菜 100 斤，其中有 4 天卖完，有 2 天各剩余 20 斤，有 1 天剩余 10 斤，这 7 天菜商共赚了多少元钱？

• A. 2950
• B. 3000
• C. 3250
• D. 3500

解析：

总成本计算：

• 每天购进：100 斤
• 进价：5 元/斤
• 总成本 = 100 × 5 × 7 = 3500 元

总收入计算：

• 4 天卖完：4 × 100 = 400 斤
• 2 天剩余 20 斤：2 × 80 = 160 斤
• 1 天剩余 10 斤：1 × 90 = 90 斤
• 总销售量 = 400 + 160 + 90 = 650 斤
• 总收入 = 650 × 10 = 6500 元

总利润 = 总收入 - 总成本 = 6500 - 3500 = 3000 元

答案：B

例题3：成本与定价关系

题目：小李批发了一批同规格布娃娃，每个成本 6 元。第一天卖出 50 个，第二天他将售价上调 50% 后卖出 40 个，第三天降回原来价格将存货全部卖光。销售这一批布娃娃一共获得 1400 元销售收入，其中包含 680 元利润，小李第一天的定价为多少元？

• A. 12.5
• B. 12
• C. 8
• D. 10

解析：

关键信息：总收入 = 1400 元，总利润 = 680 元

第一步：计算总成本

• 总成本 = 总收入 - 总利润 = 1400 - 680 = 720 元

第二步：计算总进货量

• 每个成本 = 6 元
• 总进货量 = 720 ÷ 6 = 120 个

第三步：分析销售情况

• 第一天：50 个
• 第二天：40 个
• 第三天：120 - 50 - 40 = 30 个

第四步：设第一天定价为 x 元

• 第一天收入：50x
• 第二天收入：40 × 1.5x = 60x
• 第三天收入：30x
• 总收入：50x + 60x + 30x = 140x = 1400 元

解得：x = 10 元

答案：D

例题4：物资捐赠问题

题目【较难】：某企业将一批防疫物资赠送给"一带一路"沿线国家的若干家医院。如果向每家医院赠送10箱口罩和7箱防护服，则剩余的口罩比防护服多20箱。如果向每家医院赠送12箱口罩和8箱防护服，则还缺8箱口罩和11箱防护服。如该企业决定额外采购物资，口罩和防护服按2：1的比例向每家医院捐赠相同数量的物资，且捐完后没有剩余，问口罩和防护服总计至少还要采购多少箱？

• A.54
• B.63
• C.75
• D.87

解析：

第一步：分析条件变化

• 情况一：每家医院送10箱口罩+7箱防护服
• 情况二：每家医院送12箱口罩+8箱防护服
• 变化：口罩每家多发2箱，防护服每家多发1箱

第二步：利用剩余变化求医院数量

• 口罩从多剩20箱变成缺8箱 → 相当于多需要28箱
• 防护服从多剩(20-7×n)变成缺11箱
• 医院数量 = (20 - (-3)) ÷ (4 - 3) = 23 ÷ 1 = 17家

第三步：计算现有物资数量

• 口箱数量 = 12 × 17 - 8 = 196箱
• 防护服数量 = 8 × 17 - 11 = 125箱

第四步：计算需要采购的物资

• 防护服需要：8 × 17 = 136箱 → 需采购136 - 125 = 11箱
• 口罩按2:1比例需要：16 × 17 = 272箱 → 需采购272 - 196 = 76箱
• 总计采购：11 + 76 = 87箱

答案：D

方程法 解题思路

设

• 现有口罩 $M_0$ 箱、 防护服 $P_0$ 箱
• 需捐赠医院数 $n$

1. 由两套捐赠方案求出 $n,\,M_0,\,P_0$

• 方案 B（缺货）转化为方程

  $$\begin{cases} 12n-M_0 = 8\\ 8n-P_0 = 11 \end{cases} \;\Longrightarrow\; M_0 = 12n-8,\quad P_0 = 8n-11$$

• 方案 A（有剩余）给出差额

  $$(M_0-10n)-(P_0-7n)=20$$

  代入 $M_0,\;P_0$ 得

  $$(12n-8-10n)-(8n-11-7n)=20 \Longrightarrow n+3=20 \Longrightarrow n=17$$

• 现有库存

  $$\boxed{M_0 = 12\!\times\!17-8 = 196},\quad \boxed{P_0 = 8\!\times\!17-11 = 125}$$

2. 新方案：按 2 : 1 向每家捐赠

设每家捐赠 $2k$ 箱口罩、$k$ 箱防护服

必须满足

取 最小整数 $k=8$ 可使补货量最少：

3. 结果

即 再购进 76 箱口罩和 11 箱防护服，共 87 箱，即可按 2 : 1 比例向 17 家医院等额捐完且无剩余。

二、份数思想

核心思想

将复杂的百分比和价格关系转化为简单的份数关系，便于计算和理解。

例题5：价格折扣与份数思想

题目：某种商品如果每件降价 30 元，单价比打八折销售时贵 10 元，则这种商品的定价是多少元/件？

• A. 200
• B. 250
• C. 300
• D. 350

解析：

方程解法： 设定价为 x 元，则：

• 降价30元后的价格：x - 30
• 打八折的价格：0.8x
• 根据题意：x - 30 = 0.8x + 10
• 解得：0.2x = 40，x = 200

份数思想解法：

• 将原价看作10份
• 八折就是8份，比原价少2份
• 降价30元比八折贵10元，说明降价30元 = 八折 + 10元
• 所以2份 = 30 + 10 = 40元
• 1份 = 20元
• 原价10份 = 200元

答案：A

例题6：折扣与利润关系

题目：某家电商场出售一种微波炉，现在进行促销活动，若按原售价打九折出售，则每台可盈利 215 元，若按八折出售，则每台会亏损 125 元，问这种微波炉每台原售价是多少元？

• A. 2845
• B. 3060
• C. 3400
• D. 3680

解析：

关键分析：

• 九折利润：+215元
• 八折利润：-125元
• 利润差值：215 - (-125) = 340元

份数思想：

• 九折（90%原售价）比八折（80%原售价）高出10%原售价
• 这10%原售价对应利润增加340元
• 所以10%原售价 = 340元
• 原售价 = 340 × 10 = 3400元

答案：C

方程法 设微波炉的原售价为 $P$ 元、进价（成本）为 $C$ 元。

两式相减以消去 $C$：

答：这种微波炉的原售价为 3400 元/台。

例题7：成本变化与利润关系

题目：某产品售价为 67.1 元，在采用新技术生产节约 10% 成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番。则该产品最初的成本为多少元：

• A. 51.2
• B. 54.9
• C. 61
• D. 62.5

解析：

核心关系：

• 利润 = 售价 - 成本
• 售价不变时：成本减少 = 利润增加

分析过程：

• 设原成本为 C 元
• 原利润 = 67.1 - C
• 新成本 = 0.9C（节约10%）
• 新利润 = 67.1 - 0.9C
• 根据题意：新利润 = 2 × 原利润

建立方程： 67.1 - 0.9C = 2(67.1 - C) 67.1 - 0.9C = 134.2 - 2C 1.1C = 67.1 C = 61 元

快速解法：

• 成本减少10%，利润翻一番
• 说明原利润 = 成本减少额 = 10%成本
• 所以售价 = 成本 + 10%成本 = 1.1成本
• 成本 = 售价 ÷ 1.1 = 67.1 ÷ 1.1 = 61元

答案：C

例题8：折扣与利润份数关系

题目：某件商品如果打九折销售，利润将减少一半；如果打八五折销售，利润将减少 22.5 元。如果按原价销售，这件商品的利润是（）元。

• A. 15
• B. 22.5
• C. 30
• D. 45

解析：

份数思想分析：

• 将原价看作10份
• 成本看作C份，原利润看作P份
• 则：10 = C + P

九折情况：

• 售价：9份
• 利润：9 - C = 0.5P（减少一半）
• 代入：9 - (10 - P) = 0.5P
• 9 - 10 + P = 0.5P
• 0.5P = 1
• P = 2份

确定成本：

• 原利润 = 2份
• 成本 = 10 - 2 = 8份

八五折情况：

• 售价：8.5份
• 利润：8.5 - 8 = 0.5份
• 利润减少：2 - 0.5 = 1.5份 = 22.5元
• 所以1份 = 22.5 ÷ 1.5 = 15元
• 原利润2份 = 2 × 15 = 30元

答案：C

方程法 设

• 原价为 $S$ 元
• 成本为 $C$ 元
• 原价利润为 $P=S-C$ 元

1 . 根据“八五折利润少 22.5 元”

2 . 根据“九折利润减半”

九折利润：$0.9S-C$ 原利润的一半：$\tfrac12(S-C)$

代入 $S=150$：

3 . 求原价利润

三、和定积最

原理

核心定理：若 a、b 之和为恒定值，则当 a = b 时，a、b 之积取得最大值。

数学证明

设：a + b = m（常数）

则：b = m - a

积的表达式： $a \times b = a \times (m - a) = \left(\frac{m}{2} + a - \frac{m}{2}\right) \times \left[\frac{m}{2} - \left(a - \frac{m}{2}\right)\right] = \frac{m^2}{4} - \left(a - \frac{m}{2}\right)^2 \leq \frac{m^2}{4}$

结论：当且仅当 $a - \frac{m}{2} = 0$ 即 $a = b = \frac{m}{2}$ 时，$a \times b$ 取最大值 $\frac{m^2}{4}$。

应用

例题9：定价与收入最大化

题目【较难】：某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株 4 元出售，可卖出 20 万株，若苗木单价每提高 0.4 元，就会少卖 1 万株，问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元？

• A. 60
• B. 80
• C. 90
• D. 100

解析：

第一步：建立变量关系

• 设单价提高 x 次 0.4 元
• 售价 = 4 + 0.4x
• 销量 = 20 - x
• 收入 = (4 + 0.4x) × (20 - x)

第二步：应用和定积最原理

• 为了构造和为定值，将表达式变形：
• 收入 = 0.4 × (10 + x) × (20 - x)
• 其中：(10 + x) + (20 - x) = 30（定值）

第三步：求最大值

• 当 10 + x = 20 - x = 15 时，积最大
• 即 x = 5 时取得最大值
• 最大收入 = 0.4 × 15 × 15 = 90万元

答案：C

二次函数对称轴法 设

• 基准单价 $p_{0}=4$ 元/株，能卖出 $q_{0}=20$ 万株；
• 每把单价提高 0.4元，销量就会少1万株。

令 $x$ 为单价提高的 0.4 元 的次数，则收入（万元）为

$R(x)$ 是开口向下的二次函数，最大值出现在顶点

于是

在最佳定价（6 元/株）下，该公司的最大收入是 90 万元。

四、优势比较问题

核心思想

在多种方案中选择最优方案时，需要比较各种方案的效率或成本，优先选择效率更高或成本更低的方案。

例题11：运输方案优化

题目：甲地有9000吨货物要运到乙地，大油轮载重700吨，小船载重量40吨，大油轮运一趟耗油1400升，小船一趟耗油95升，问运完这些货最少耗油多少升？

• A.18225
• B.18260
• C.18320
• D.18200

解析：

第一步：计算单位耗油

• 大油轮：1400 ÷ 700 = 2升/吨
• 小船：95 ÷ 40 = 2.375升/吨

第二步：优先选择大油轮

• 9000 ÷ 700 = 12艘余600吨
• 12艘大油轮：载重8400吨，耗油12 × 1400 = 16800升
• 剩余600吨运输方案比较：
  • 小船：600 ÷ 40 = 15艘，耗油15 × 95 = 1425升
  • 大油轮：1艘，耗油1400升

第三步：选择最优方案

• 剩余600吨选择大油轮更省油
• 总耗油 = 16800 + 1400 = 18200升

答案：D

例题12：运输方案比较（变式）

题目【较难】：甲地有8000吨货物要运到乙地，大油轮载重700吨，小船载重量40吨，大油轮运一趟耗油1400升，小船一趟耗油95升，问运完这些货最少耗油多少升？

• A.16160
• B.16350
• C.16800
• D.19000

解析：

第一步：单位耗油分析（同上）

• 大油轮：2升/吨
• 小船：2.375升/吨

第二步：优先安排大油轮

• 8000 ÷ 700 = 11艘余300吨
• 11艘大油轮：载重7700吨，耗油11 × 1400 = 15400升
• 剩余300吨运输方案：
  • 小船：需要8艘（载重320吨），耗油8 × 95 = 760升
  • 大油轮：需要1艘（载重700吨），耗油1400升

第三步：选择最优方案

• 剩余300吨选择小船更省油（760 < 1400）
• 总耗油 = 15400 + 760 = 16160升

答案：A

注意：此例与上例的关键区别在于剩余货物量不同，导致最优选择不同。

解题思路说明：严格意义上，上述解题思路都存在载重"浪费"问题。更严谨的解法需要用到线性规划和整数特性分析，但考公行测题通常不会设计得这么复杂，一般仅停留在优势比较阶段。如果出题人想考察最佳搭配，会明确要求每艘船必须载满，然后用不定方程解题。

例题13：成本优化

题目【较难】：原油A每吨的价格为0.3万元，可提炼苯乙烯0.5吨，提炼过程中每吨原油产生的废气量为0.4吨；原油B每吨的价格为0.4万元，可提炼苯乙烯0.7吨，提炼过程中每吨原油产生的废气量为0.3吨。若要提炼至少1.9吨的苯乙烯且产生的废气量不超过1吨，且两种原油只能按整吨购买，则购买原油的最低费用为多少万元？

• A.1
• B.1.1
• C.1.2
• D.1.3

解析：

第一步：计算单位成本

• 原油A：0.3 ÷ 0.5 = 0.6万元/吨苯乙烯
• 原油B：0.4 ÷ 0.7 ≈ 0.57万元/吨苯乙烯

第二步：优先选择成本更低的原油B

• 需要苯乙烯：至少1.9吨
• 使用原油B：1.9 ÷ 0.7 = 2吨余0.5吨
• 2吨B原油可提炼：2 × 0.7 = 1.4吨苯乙烯
• 还需：1.9 - 1.4 = 0.5吨苯乙烯

第三步：选择剩余方案

• 方案一：1吨A原油 → 提炼0.5吨，费用0.3万元
• 方案二：1吨B原油 → 提炼0.7吨，费用0.4万元
• 选择方案一更经济

第四步：验证约束条件

• 总费用：2 × 0.4 + 0.3 = 1.1万元
• 废气量：2 × 0.3 + 0.4 = 1.0吨（符合要求）

答案：B

方程法 设购买原油A为 $x$ 吨、原油B为 $y$ 吨（均为非负整数）。

约束：

• 苯乙烯产量：$0.5x+0.7y\ge 1.9$
• 废气：$0.4x+0.3y\le 1.0$
• 费用最小化：$\min\, 0.3x+0.4y$

为便于枚举，把废气约束放大10倍：$4x+3y\le 10$。

逐一检查可行整数组合：

• $x=0$：$3y\le 10\Rightarrow y\le 3$。要满足产量 $0.7y\ge 1.9\Rightarrow y\ge 3$。 取 $y=3$：费用 $=0.4\times3=1.2$ 万元，可行。
• $x=1$：$4+3y\le 10\Rightarrow y\le 2$。要满足产量 $0.5+0.7y\ge 1.9\Rightarrow y\ge 2$。 取 $y=2$：费用 $=0.3\times1+0.4\times2=1.1$ 万元，可行（且两项恰达标：产量 $1.9$ 吨、废气 $1.0$ 吨）。
• $x=2$：$8+3y\le 10\Rightarrow y\le 0$，此时产量 $1.0<1.9$，不可行。

最优解：购买 $x=1$ 吨A、$y=2$ 吨B，最低费用为1.1万。

鸡兔同笼型优势比较

例【较难】：甲、乙两地稻谷同时成熟，分别需要15台和13台大型收割机进行收割，计划从丙、丁两地分别调配20台和8台收割机进行支援。若从丙地调配一台收割机到甲、乙两地分别需要油费40元、50元；从丁地到甲、乙两地分别需要50元、30元，则完成所有的收割机调配至少需要油费（）元？

A.1000 B.1090 C.1180 D.1270

解析 丙地去甲更便宜，丁地去乙更便宜，所以甲地15台优先由丙配送需要 $15 \times 40 = 600$ 元，乙地13台分别由丙地配5台、丁地配8台，需要 $50 \times 5 + 30 \times 8 = 490$ 元，所以一共需要 $600 + 490 = 1090$ 元。

解析 如果这28台都由丙提供，需要 $15 \times 40 + 13 \times 50 = 600 + 650 = 1250$ 元。实际上有8台需要由丁提供，把去甲处的换成丁会增加10元费用，把去乙处的换成丁会减少20元费用，所以这8台选择从乙地置换，所以实际最低费用为 $1250 - 8 \times 20 = 1250 - 160 = 1090$ 元，所以选择B。

例 A、B两地分别有10台和6台型号相同的机器，准备配送到E、F两地，其中E地11台，F地5台。若每台机器从A到E和F的物流费用分别为350元和550元，从B到E和F的物流费用分别为600元和900元，则配送这16台机器的总物流费用最少为（）。

A.7850 B.8100 C.8400 D.8700

解析 若E、F两地机器都由A地提供，则需要 $11 \times 350 + 5 \times 550 = 3850 + 2750 = 6600$ 元，实际还有6台需要从A改成B提供，E处的改B需要多给250元，F处的改B需要多给350元，所以E处的6台改由B提供，需要额外支付 $6 \times 250 = 1500$ 元，所以一共最少需要物流费用 $6600 + 1500 = 8100$ 元，选择B。

五、股份变化问题

股份占比=自己资本 股份占比问题多运用比例关系与份数思想总资本

例【较难】 甲以技术入股加入某互联网初创企业，占企业总股份的 $10\%$ 。随后企业先后两次引入外来投资，其中第二次投资的金额是第一次的10倍。在两次投资完成之后，甲持有的股份占企业总股份的比例先后下降到 $8\%$ 和 $5\%$ 。那么第一次投资前公司的估算价值是第二次投资前的百分之几？

A.24% B.28% C.32% D.36%

解析 股份占比 = 自己资本，在题干中，甲提供的资本始终没有发生变化，而总资本变大了两次，导致股份占比下降，此时总资本与股份占比成反比关系。第一次投资前后股份占比之比为5：4，所以总资本比值为4：5，假设为 $4\mathrm{a}\rightarrow 5\mathrm{a}$ ；第二次投资前后股份占比之比为8：5，所以总资本比值为5：8，假设为 $5\mathrm{b}\rightarrow 8\mathrm{b}$ 。根据“第二次投资的金额是第一次的10倍”，所以 $8\mathrm{b} - 5\mathrm{b} = 10\times$ (5a- 4a)， $3\mathrm{b} = 10\mathrm{a}$ 。所以第一次投资前公司的估算价

值与第二次投资前的比值为 $\frac{4a}{5b} = \frac{1.2b}{5b} = 24\%$ ，所以选择 A。

方程法 设两轮外部投资前的公司估值分别为 $V_1$（一轮前）与 $V_2$（二轮前），对应投资额为 $I_1,\ I_2$（且 $I_2=10I_1$）。甲的股份只随增发被动稀释。

由持股比例变化得到投资额与估值的关系：

• 第一轮：$10\%\to 8\%$

  $$\frac{0.08}{0.10}=\frac{V_1}{V_1+I_1}\ \Rightarrow\ I_1=\frac{1}{4}V_1.$$

• 第二轮：$8\%\to 5\%$

  $$\frac{0.05}{0.08}=\frac{V_2}{V_2+I_2}\ \Rightarrow\ I_2=0.6\,V_2.$$

又因 $I_2=10I_1$，代入得

第一次投资前的估值是第二次投资前的 $24\%$。

例【较难】 企业引入投资人甲注入资金 5000 万元，投资完成后原企业董事长所持有的股份从 $60\%$ 下降到 $40\%$ 。又过了一段时间后董事长将自己所持股份的一半卖给投资人乙，同时投资人乙为企业注入资金 1.2 亿元，此时董事长所持有的股份下降到 $15\%$ 。问此时投资人甲如果卖出所持股份，能获利多少亿元？

A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6

解析 股份占比 = 自己资本 甲注入5000万元前后董事长股份占比之比为 $60\%$ ： $40\%$ 即3：2，所以总资本前后之比为2：3，则注入前为1亿元，注入后为1.5亿元。董事长卖了一半股份给乙后股份占比为 $20\%$ ，第二次乙注资1.2亿前后董事长股份占比之比为 $20\%$ ： $15\% = 4$ ：3，所以总资本之比为3：4，所以注资前总资本 $= 1.2\times 3 = 3.6$ 亿，注资前甲股份占比依旧为 $\frac{5000}{15000} = \frac{1}{3}$ 所以甲此时所持股份价值3.6亿 $\times \frac{1}{3} = 1.2$ 亿，所以卖出可以获利1.2亿- 0.5亿 $= 0.7$ 亿元，选择 $C_0$

方程法

1. 第一轮（引入甲 5000 万） 董事长持股由 $60\%\to40\%$，说明仅因增发被动稀释：

则甲持股占比 $=\frac{0.5S_0}{1.5S_0}= \frac{1}{3}$（33.33%）。 甲用 5000 万买到公司 1/3 股权，故一轮 投后估值 $= \frac{5000}{1/3}=1.5$ 亿元（投前 1 亿元）。

2. 第二轮（乙入场：先买股、再增发 1.2 亿元） 先“董事长卖出其一半股份给乙”：董事长 $40\%\to20\%$（此步不改变总股本）。 后“增发给乙 1.2 亿元”，增发使董事长从 20% 稀释到 15%：

因此该轮 投前估值 $=$ 以 1.2 亿元购买 $\tfrac{1}{3}S_1$ 的价格 $\Rightarrow 3\times1.2=3.6$ 亿元；投后估值 $=3.6+1.2=4.8$ 亿元。 甲此时持股占比由 $\frac{1}{3}$ 被这次增发按同一比例稀释到

3. 甲若此时全部卖出 其持股价值 $= 25\%\times 4.8=1.2$ 亿元。 甲最初投入 5000 万，利润 $=1.2-0.5=0.7$ 亿元。

答案：$\boxed{0.7\ \text{亿元}}$。