乘积增长率

核心概念

什么是乘积增长率？

乘积增长率是指当一个量等于两个或多个量的乘积时，如何通过各个分量的增长率来计算总量的增长率。这在资料分析中是一个非常重要的概念。

让我们用一个生活中的例子来理解：

假设小明开了一家奶茶店，他的总收入 = 奶茶单价 × 销售杯数

• 2023年：奶茶单价15元/杯，销售了10000杯，总收入 = 15 × 10000 = 150000元
• 2024年：由于原料涨价，奶茶单价涨到16.5元/杯（增长10%），但由于竞争激烈，销售量只有9500杯（下降5%）

问题：小明2024年的总收入增长率是多少？

公式推导过程

设总量 $A = B \times C$，其中：

• $A$ 是总量（如总收入）
• $B$ 是第一个分量（如单价）
• $C$ 是第二个分量（如销量）

初始状态：$A_0 = B_0 \times C_0$

变化后状态：$A_1 = B_1 \times C_1 = B_0(1+r_B) \times C_0(1+r_C)$

其中 $r_B$、$r_C$ 分别是 $B$、$C$ 的增长率。

$A_1 = B_0(1+r_B) \times C_0(1+r_C) = B_0C_0(1+r_B)(1+r_C)$

$A_1 = A_0(1+r_B)(1+r_C) = A_0(1 + r_B + r_C + r_Br_C)$

$r_A = \frac{A_1 - A_0}{A_0} = \frac{A_0(1 + r_B + r_C + r_Br_C) - A_0}{A_0}$

$r_A = r_B + r_C + r_Br_C$

这就是乘积增长率的精确公式！

近似公式的应用

当 $r_B$ 和 $r_C$ 都比较小（通常小于10%）时，交叉项 $r_Br_C$ 是一个很小的数，可以忽略：

$r_A \approx r_B + r_C$

回到小明奶茶店的例子：

• 单价增长率：$r_B = 10\% = 0.1$
• 销量增长率：$r_C = -5\% = -0.05$

精确计算：$r_A = 0.1 + (-0.05) + 0.1 \times (-0.05) = 0.05 - 0.005 = 0.045 = 4.5\%$

近似计算：$r_A \approx 0.1 + (-0.05) = 0.05 = 5\%$

验证：2024年总收入 = 16.5 × 9500 = 156750元，增长率 = (156750-150000)/150000 = 4.5%

可见精确公式更准确！

易错点提醒

1. 符号问题：负增长率要带负号计算
2. 单位问题：确保所有量的单位一致
3. 交叉项：当增长率较大时，不能忽略 $r_Br_C$ 项
4. 适用范围：只适用于乘积关系，不适用于加减关系

真题讲解

主题一：价格销量类问题

例1（模拟2024年国考）： 某超市2023年苹果总销售额为120万元。2024年苹果价格上涨8%，销售量下降3%，则2024年苹果总销售额的增长率约为：

A. 5.0%
B. 4.8%
C. 4.6%
D. 5.2%

例2（模拟2023年省考）： 某电商平台2022年某商品订单总金额为500万元，2023年该商品平均订单金额增长12%，订单数量增长15%，则2023年订单总金额的增长率为：

A. 27.0%
B. 28.8%
C. 26.5%
D. 29.2%

主题二：人口经济类问题

例3（模拟2025年国考）： 某地区2023年GDP为2000亿元，2024年人口增长0.5%，人均GDP增长6.2%，则该地区2024年GDP增长率为：

A. 6.7%
B. 6.73%
C. 6.8%
D. 7.0%

主题三：农业生产类问题

例4（模拟2024年省考）： 某农场2023年小麦总产量为800吨，2024年种植面积扩大5%，亩产量提高8%，则2024年小麦总产量增长率为：

A. 13.0%
B. 13.4%
C. 13.8%
D. 12.6%

主题四：工业生产类问题

例5（模拟2023年联考）： 某工厂2022年产品总价值为1500万元，2023年产品数量减少4%，单位产品价值增长9%，则2023年产品总价值的增长率为：

A. 4.6%
B. 5.0%
C. 4.2%
D. 4.8%

主题五：复杂多因子问题

例6（模拟2025年省考）： 某企业利润 = 营业收入 × 利润率，2024年营业收入增长15%，利润率从8%提高到9%，则2024年利润增长率为：

A. 28.1%
B. 28.8%
C. 29.4%
D. 27.5%

技巧总结

核心公式记忆

1. 精确公式：$r_A = r_B + r_C + r_Br_C$
2. 近似公式：$r_A \approx r_B + r_C$（当$|r_B|, |r_C| < 10\%$时）

快速判断技巧

1. 识别乘积关系的关键词：

   • 总收入、总销售额、总产值
   • 总产量、总人口、GDP
   • 一般形式：总量 = 分量1 × 分量2

2. 选择公式的判断标准：

   • 增长率绝对值都 < 10%：用近似公式
   • 有增长率绝对值 ≥ 10%：用精确公式
   • 考试时间紧：优先近似公式，再检验

3. 易错陷阱：

   • 混淆加法和乘法关系
   • 忘记交叉项的影响
   • 负增长率符号处理错误
   • 百分比和小数转换错误

解题步骤模板

1. 识别关系：确认是否为 $A = B \times C$ 的形式
2. 提取数据：找出各分量的增长率
3. 选择公式：根据增长率大小选择精确或近似公式
4. 计算求解：代入公式计算
5. 验证检查：检查答案合理性

时间节省技巧

• 当交叉项 $r_Br_C$ 很小时（如两个5%的乘积只有0.25%），直接忽略
• 记住常见百分比的小数形式：5%=0.05，12%=0.12等
• 学会快速心算：如15%×8%=1.2%

拓展应用

乘积增长率不仅适用于两个因子，也适用于多个因子：

• 三因子：$A = B \times C \times D$时，$r_A \approx r_B + r_C + r_D$
• 实际应用：总产值 = 企业数 × 平均规模 × 单位产值

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