第六章 溶液问题

• 溶液 = 溶质 + 溶剂
• $\text{浓度} = \frac{\text{溶质的质量}}{\text{溶液的质量}}$

反复操作问题

识别：溶液浓度为 n%，倒出比例 a，水加满，再倒出比例 b，水加满，再倒出比例 c，水加满。

公式：最后浓度为： $n\% \times (1-a) \times (1-b) \times (1-c)$

证明（质量/溶质量守恒）

设容器总量为 $V$（任意单位），初始溶质量为 $M_0=\frac{n}{100}\,V$ （即初始浓度为 $n\%$）。每次“倒出—加满水”的关键事实是：溶液均匀，因此倒出的是“等比例”的溶液，倒掉的溶质也按同一比例减少；再加回的是纯水，溶质量不变、总量回到 $V$。

1. 第一次操作（倒出比例 $a$，再加满）： 倒出后剩余溶质量 $M_1=(1-a)M_0$ 加水为纯水，不改变溶质量，所以加满后溶质仍为 $M_1$，总量回到 $V$。此时浓度为 $\frac{M_1}{V}=\frac{M_0}{V}(1-a)=\frac{n}{100}(1-a).$

2. 第二次操作（倒出比例 $b$，再加满）： 同理倒出后溶质量 $M_2=(1-b)M_1=(1-b)(1-a)M_0,$ 加满后浓度为 $\frac{M_2}{V}=\frac{n}{100}(1-a)(1-b).$

3. 第三次操作（倒出比例 $c$，再加满）： 倒出后溶质量 $M_3=(1-c)M_2=(1-c)(1-b)(1-a)M_0,$ 加满后浓度为 $\frac{M_3}{V}=\frac{n}{100}(1-a)(1-b)(1-c).$

将其写成百分数，得到最后浓度为 $n\%\times(1-a)\times(1-b)\times(1-c).$

推广

若依次按比例 $a_1,a_2,\dots,a_k$ 倒出、每次都用纯水加满，则最终浓度为 $n\%\cdot\prod_{i=1}^k(1-a_i).$

说明与常见误区

• 条件：每次倒出前溶液充分混匀；倒入的是纯水；每次均加满至原总量 $V$。证明与 $V$ 的具体大小无关。
• 误区：把结果误写成 $n\%\times\bigl(1-(a+b+c)\bigr)$。这是错误的，除非 $a,b,c$ 极小而只取一阶近似（即 $(1-a)(1-b)(1-c)\approx1-(a+b+c)$ 时）。

由此，题述公式成立。

一、基本计算

例 含盐 10% 的盐水 50 千克，要使浓度提高到 20%，需加盐多少千克？

• A. 5
• B. 5.5
• C. 6
• D. 6.25

解析：假设加盐 $x$ 千克，则 $\frac{50 \times 10\% + x}{50 + x} = 20\%$，解得 $x = 6.25$。因此，选择 D。

例【模版题】 有 A、B、C 三种浓度不同的溶液，按 A 与 B 的质量比为 5:3 混合，得到的溶液浓度为 13.75%；按 A 与 B 的质量比为 3:5 混合，得到的溶液浓度为 16.25%；按 A、B、C 的质量比为 1:2:5 混合，得到的溶液浓度为 31.25%。问溶液 C 的浓度为多少？

• A. 35%
• B. 40%
• C. 45%
• D. 50%

解析：设三种溶液浓度分别为 $A$、$B$、$C$。根据题意，将 A、B、C 溶液质量按比例赋值。 则 $5A + 3B = 13.75\% \times 8 = 110\%$；$3A + 5B = 16.25\% \times 8 = 130\%$ (混合前后溶质相等)。 解得 $A = 10\%$，$B = 20\%$。 所以 $10\% + 2 \times 20\% + 5C = 31.25\% \times 8 = 250\%$，解得 $C = 40\%$。因此，选择 B。

下面用质量比和质量分数的定义列方程求解。

设三种溶液 A、B、C 的浓度（质量分数，%）分别为 $a$、$b$、$c$。

1. A∶B=5∶3 时，所得溶液浓度为 13.75%：

2. A∶B=3∶5 时，所得溶液浓度为 16.25%：

联立

解得

3. A∶B∶C=1∶2∶5 时，所得溶液浓度为 31.25%：

代入 $a=10$、$b=20$：

答：溶液 C 的浓度为 40%。

例 甲烧杯装有浓度为 6% 的酒精 200 克，乙烧杯装有浓度为 8% 的酒精 100 克。现向两个烧杯各加入 x 克水后，两个烧杯中酒精浓度相同。问 $x$ 的值为：

• A. 60
• B. 80
• C. 100
• D. 150

解析 1：根据题意，分别写出两种溶液加 $x$ 克水后的浓度。 甲烧杯：$\frac{200 \times 6\%}{200 + x}$，乙烧杯：$\frac{100 \times 8\%}{100 + x}$。 因为加水后浓度相等，所以 $\frac{200 \times 6\%}{200 + x} = \frac{100 \times 8\%}{100 + x}$，即 $12 \times (100 + x) = 8 \times (200 + x)$，解得 $x = 100$。因此，选择 C。

解析 2：甲烧杯有 $200 \times 6\% = 12$ 克酒精，乙烧杯有 $100 \times 8\% = 8$ 克酒精。因为加水后浓度相等，而 $\text{浓度} = \frac{\text{溶质}}{\text{溶液}}$，所以甲乙溶液之比等于溶质之比。 即 $(200 + x) : (100 + x) = 12 : 8 = 3 : 2$，解得 $x = 100$。因此，选择 C。

设加入水后两杯酒精浓度相同。

• 甲杯：原有酒精质量

加入 $x$ 克水后，总质量为 $200+x$，浓度为

• 乙杯：原有酒精质量

加入 $x$ 克水后，总质量为 $100+x$，浓度为

令两浓度相等：

答：应向每个烧杯中各加入 $100$ 克水。

溶液问题中，经常可以观察浓度、溶质、溶液三要素的比例关系。无论是正比关系还是反比关系，都是方程关系的另一种表达方式，往往可以帮助我们减少动笔步骤，快速理清思路。

二、蒸发加水问题

原理

$\text{浓度} = \frac{\text{溶质}}{\text{溶液}}$

当溶质恒定时，溶液和浓度成反比，溶液越多，浓度越低；溶液越少，浓度越高。

例【模版题】 一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为 10%；再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为 12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？

• A. 14%
• B. 17%
• C. 16%
• D. 15%

解析 1：溶质不变，溶液与浓度成反比。第二次蒸发前后浓度比为 10:12 即 5:6，所以蒸发前后溶液比为 6:5，即从 6 份溶液变成 5 份溶液。第三次蒸发同样多的水，会从 5 份溶液变成 4 份溶液，溶液比为 5:4，浓度比为 4:5，所以浓度会变成 $12\% \times \frac{5}{4} = 15\%$。因此，选择 D。

解析 2：蒸发加水问题相当于等路程平均速度问题。速度 = 路程 / 时间，浓度 = 溶质 / 溶液。蒸发加水问题中，溶质不变，结构一致。此例题中 10% 状态的溶液与最后浓度为 $P$ 的溶液，溶质相同，所以混合后浓度为 $\frac{2 \times 10\% \times P}{10\% + P}$。而 10% 浓度溶液比 12% 浓度溶液多一份水，$P$ 浓度溶液比 12% 浓度溶液少一份水，所以混合后盈亏相补，混合浓度等于 12%。即 $\frac{2 \times 10\% \times P}{10\% + P} = 12\%$，解得 $P = 15\%$。

结论

蒸发加水问题前后三次浓度符合连续调和平均数关系。

常用调和平均数： 10, 12, 15, 20, 30, 60

注：等比例变化也符合，如 20:24:30；200:300:600 等。

设溶液初始总质量为 $M$，溶质（固体）质量为 $S$，每次蒸发掉水的质量为 $W$。

1. 第一次蒸发后，溶液质量变为 $M - W$，浓度为 10%，故

2. 第二次再蒸发同样的 $W$，此时溶液质量为 $M - 2W$，浓度为 12%，故

将两式右端相等：

代入任一式求 $S$，例如第①式：

3. 第三次蒸发同样的 $W$ 后，溶液质量为

浓度为

因此，第三次蒸发后溶液浓度为 15%（选项 D）。

例 某种溶液的浓度为 20%，加入水后溶液的浓度变为 15%，如果再加入同样多的水，则溶液浓度变为：

• A. 13%
• B. 12.5%
• C. 12%
• D. 10%

解析：前后加水量相同，溶质不变，所以浓度混合关系是调和平均数关系。观察发现 20 与 12 可以构成中间项为 15 的调和平均数组，所以再加入相同多的水浓度会变成 12%。因此，选择 C。

方程法 设初始溶液质量为 $M$，溶质质量为 $S$。由浓度定义 $S=0.20M$。

1. 第一次加水后，加入水量设为 $x$，此时总质量为 $M+x$，浓度变为 15%，

   $$\frac{S}{M+x}=0.15 \quad\Longrightarrow\quad 0.20M = 0.15M + 0.15x$$ $$0.05M = 0.15x \quad\Longrightarrow\quad M = 3x, \quad S = 0.20M = 0.6x.$$

2. 第二次再加同样的水量 $x$，此时溶液总质量

   $$M + x + x = 3x + x + x = 5x,$$

   溶质仍为 $0.6x$，所以浓度

   $$\frac{0.6x}{5x} = 0.12 = 12\%.$$

快速解法： 假设溶液 100g 进行计算

三、线段混合关系

溶液混合，浓度距离之比 = 溶液质量反比。

溶液甲浓度为 $a$，质量为 $m$；溶液乙浓度为 $b$，质量为 $n$。混合后浓度为 $c$，则有： $(a - c) : (c - b) = n : m$

例【模版题】 两个相同玻璃杯都装满蜂蜜水，蜂蜜与水的比例分别为 1:7 和 1:9，则这两杯蜂蜜水混合后的浓度为？

• A. 11.1%
• B. 11.25%
• C. 12.5%
• D. 12.7%

解析：1:7 比例的浓度为 $\frac{1}{1 + 7} = 12.5\%$；1:9 比例的浓度为 $\frac{1}{1 + 9} = 10\%$。因为玻璃杯相同，所以质量相同，混合后浓度为算术平均值，即 $\frac{12.5\% + 10\%}{2} = 11.25\%$。因此，选择 B。

例【模版题】 有两瓶质量为 1 千克的酒精溶液，浓度分别为 70% 和 45%。先从两瓶中各取部分混合成 1 千克的酒精溶液，测得浓度恰好为 50%。再将这两瓶中剩下的溶液混合，则所得酒精浓度是：

• A. 50%
• B. 55%
• C. 60%
• D. 65%

解析 1：根据线段法，$70\% \to 50\% \to 45\%$，浓度差之比为 $(70-50):(50-45) = 20:5 = 4:1$。所以，混合时两种溶液的质量比为 1:4。而已知混合溶液总质量为 1kg，所以 70% 浓度的溶液取了 0.2kg，45% 浓度的溶液取了 0.8kg。原溶液各自剩下 0.8kg 和 0.2kg。 将剩下溶液混合，质量比为 0.8:0.2 = 4:1，所以浓度距离比为 1:4。两溶液浓度差为 $70\% - 45\% = 25\%$，按 1:4 比例分配为 5% 和 20%。所以混合后浓度为 $70\% - 5\% = 65\%$。因此，选择 D。

解析 2 (整体思维)：因为两瓶溶液初始质量相同，所以完全混合后浓度为 $\frac{70\% + 45\%}{2} = 57.5\%$。第一次混合的 1kg 溶液浓度为 50%，剩下的 1kg 溶液浓度设为 $P$。两者等质量混合后，浓度应为 57.5%。所以 $\frac{50\% + P}{2} = 57.5\%$，解得 $P = 65\%$。因此，选择 D。

例 面包房购买一包售价为 15 元/千克的白糖，取其中的一部分加水溶解形成浓度为 20% 的糖水 12 千克，然后将剩余的白糖全部加入后溶解，糖水浓度变为 25%。问购买白糖花了多少元钱？

• A. 45
• B. 48
• C. 36
• D. 42

解析 1：原有溶质为 $12 \times 20\% = 2.4$ kg。设后加入 $x$ kg 白糖，则 $2.4 + x = (12 + x) \times 25\%$。解得 $x = 0.8$ kg。所以一共买了 $2.4 + 0.8 = 3.2$ kg 白糖，花费 $3.2 \times 15 = 48$ 元。因此，选择 B。

解析 2：加入白糖相当于与浓度为 100% 的溶液混合。根据线段法，浓度距离比为 $(100 - 25) : (25 - 20) = 75:5 = 15:1$。所以质量反比为 1:15。因此，后加入的白糖质量为 $12 \text{kg} \div 15 = 0.8$ kg。总白糖为 $12 \times 20\% + 0.8 = 3.2$ kg，花费 $3.2 \times 15 = 48$ 元。因此，选择 B。

例【较难】 将一满容器浓度为 24% 的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液浓度变为 36% 且无沉淀。然后再用浓度为 12% 的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为多少？

• A. 24%
• B. 28%
• C. 30%
• D. 32%

解析：第一阶段蒸发水，溶质不变，浓度与溶液量成反比。浓度比为 24:36 = 2:3，所以溶液体积比为 3:2。即蒸发掉了 $1/3$ 的水。 第二阶段加满，即用 1 份 12% 的溶液与 2 份 36% 的溶液混合。质量比为 1:2，浓度距离比为 2:1。总距离为 $36\% - 12\% = 24\%$，按 2:1 分为 16% 和 8%。所以混合后浓度为 $12\% + 16\% = 28\%$ (或 $36\% - 8\% = 28\%$)。因此，选择 B。

假设法 假设满容器初始溶液质量为 100 （单位任意），则：

1. 初始状态

   • 总质量 = 100
   • 溶质质量 = 100 × 24% = 24
   • 溶剂质量 = 76

2. 蒸发后

   • 溶质不变 = 24
   • 新浓度 = 36%，故总质量 = 24 / 0.36 ≈ 66.67
   • 蒸发掉的水 = 100 − 66.67 = 33.33

3. 补加 12% 溶液至满

   • 需加质量 = 100 − 66.67 = 33.33
   • 新增溶质 = 33.33 × 12% = 4

4. 最终

   • 溶质总量 = 24 + 4 = 28
   • 溶液总质量 = 100
   • 浓度 = 28%

所以，补加后容器内溶液浓度为 28%。

四、特殊混合问题

1. 多对象混合

对于较复杂的溶液问题，抓好方程等量关系思路更清晰。

例【模版题】 使用浓度为 60% 的硫酸溶液 50 克和浓度为 90% 的硫酸溶液若干克，配制浓度为 66% 的硫酸溶液 100 克，需要加水的质量是：

• A. 10 克
• B. 12 克
• C. 15 克
• D. 18 克

解析 1 (十字交叉倒推)：最终混合物是 100 克 66% 的溶液。其中一部分是 50 克 60% 的溶液，那么另一部分就是 50 克未知浓度的溶液。因为质量相同，所以浓度距离相同。未知溶液的浓度为 $66\% + (66\% - 60\%) = 72\%$。这个 72% 的溶液是由 90% 的溶液和水 (0%) 混合而成。根据十字交叉法，$\frac{\text{90\%溶液质量}}{\text{水的质量}} = \frac{72-0}{90-72} = \frac{72}{18} = \frac{4}{1}$。而已知这部分总质量为 50 克，所以水是 $50 \times \frac{1}{5} = 10$ 克。因此，选择 A。

解析 2 (溶质守恒)：设需要 90% 硫酸溶液 $x$ 克，水 $y$ 克。 总质量守恒：$50 + x + y = 100$ 溶质守恒：$50 \times 60\% + x \times 90\% + y \times 0\% = 100 \times 66\%$ $30 + 0.9x = 66$，解得 $x = 40$ 克。 所以需要加水 $y = 100 - 50 - 40 = 10$ 克。因此，选择 A。

例 瓶中装有浓度为 20% 的酒精溶液 1000 克，现在又分别倒入 200 克和 400 克的 A、B 两种酒精溶液，瓶里的浓度变为 15%。已知 A 种酒精溶液的浓度是 B 种酒精溶液浓度的 2 倍。那么 A 种酒精溶液的浓度是多少？

• A. 5%
• B. 6%
• C. 8%
• D. 10%

解析：设 A 溶液浓度为 $2a$，则 B 溶液浓度为 $a$。 根据溶质守恒定律： $1000 \times 20\% + 200 \times (2a) + 400 \times a = (1000 + 200 + 400) \times 15\%$ $200 + 400a + 400a = 1600 \times 0.15$ $200 + 800a = 240$ $800a = 40$ $a = 5\%$ 所以 A 种酒精溶液的浓度是 $2a = 10\%$。因此，选择 D。

2. 重复混合

原理 若将浓度为 $a\%$ 的溶液 $m$ 与浓度为 $b\%$ 的溶液 $n$ 混合，得到浓度为 $c\%$ 的溶液 $(m+n)$。 这等价于将浓度为 $(a-b)\%$ 的溶液 $m$ 与浓度为 $0\%$ 的溶液 $n$ (即纯溶剂) 混合，得到浓度为 $(c-b)\%$ 的溶液 $(m+n)$。 目的：将复杂溶液混合简化为加水问题。

例【较难】 现有浓度为 70% 的盐水 100 克。从中倒出 40 克，再加入 40 克浓度为 20% 的盐水，如此操作共 5 次后，问盐水的浓度在以下哪个范围内？

• A. 低于 23%
• B. 23% ~ 25%
• C. 25% ~ 27%
• D. 高于 27%

解析：将所有浓度统一减去 20%。问题转化为： 现有浓度为 $70\% - 20\% = 50\%$ 的盐水 100 克。从中倒出 40 克，再加入 40 克浓度为 $20\% - 20\% = 0\%$ 的“盐水”(即纯水)。 每次操作，溶液中“特殊溶质”的含量变为原来的 $\frac{100 - 40}{100} = \frac{60}{100} = 0.6$。 操作 5 次后，浓度变为 $50\% \times (0.6)^5 = 50\% \times 0.07776 = 3.888\%$。 最后，将减去的 20% 加回来，最终浓度为 $3.888\% + 20\% = 23.888\%$。因此，选择 B。

思路

每次操作后盐水的总质量仍是 100 g，只是盐的质量会改变。
设第 $k$ 次操作后盐的质量为 $S_k$（单位：克），则：

1. 倒掉 40 g 时，倒出的盐量是当前浓度的 40 %，即 $0.4S_k$。
   剩下的盐量 = $S_k-0.4S_k = 0.6S_k$。
2. 再加入 40 g、盐浓度 20 % 的盐水，加入的盐量是 $0.2 \times 40 = 8$ g。

于是得到递推式

这是一条一次线性递推关系，起始值

计算 5 次后的盐量

因此第 5 次操作后盐的质量约为 23.888 g。

盐水的浓度（盐质量占总质量的百分比）为

3. 交换相等问题

原理 甲、乙两桶溶液，交换等量后浓度相等，说明交换后两桶中甲、乙原液的比例等于两桶初始总量的比例。

例【模版题】 甲、乙两只装盐水的桶，甲桶有盐水 90 千克，浓度为 40%；乙桶有盐水 60 千克，浓度为 20%。要使两桶盐水的浓度相等，需把两桶盐水相互交换多少千克？

• A. 24
• B. 28
• C. 32
• D. 36

解析：交换后两桶浓度相等，等于总浓度 $\frac{90 \times 40\% + 60 \times 20\%}{90+60} = \frac{36+12}{150} = 32\%$。 设交换 $x$ 千克。对甲桶分析，交换后的溶质为 $(90-x) \times 40\% + x \times 20\%$，溶液仍为 90 千克。 所以 $\frac{(90-x) \times 40\% + x \times 20\%}{90} = 32\%$。 $36 - 0.4x + 0.2x = 90 \times 0.32 = 28.8$ $0.2x = 7.2$ $x = 36$ 另解：因为交换后浓度相等，所以甲桶、乙桶内甲乙原溶液比例相同，都为 90:60 即 3:2。交换后甲桶内有 $90 \times \frac{2}{3+2} = 36$ 千克来自乙桶的溶液。因此，交换了 36 千克。选择 D。

例【较难】 有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了 200 毫升清水，乙瓶里装了 200 毫升纯酒精。第一次把 20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中 20 毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含有纯酒精的量（）乙瓶里含水的量。

• A. 大于
• B. 小于
• C. 等于
• D. 不能确定

解析：这是一个经典的“等量交换”问题。最终甲乙两瓶中的液体总量都恢复到了 200 毫升。 对于甲瓶，它最终的构成是：(初始的水) - (后来倒给乙的水) + (从乙倒来的酒精)。 对于乙瓶，它最终的构成是：(初始的酒精) - (后来倒给甲的酒精) + (从甲倒来的水)。 由于总量不变，甲瓶中减少的水量，必然等于其增加的酒精量。而乙瓶中减少的酒精量，也必然等于其增加的水量。 设最终甲瓶中有酒精 $V_a$ 毫升，水 $V_w$ 毫升，则 $V_a + V_w = 200$。 甲瓶中的水是从最初的 200 毫升变化而来的，所以乙瓶中含有的水量就是甲瓶损失的水量，即 $200 - V_w = V_a$。 所以，甲瓶里含有的纯酒精量等于乙瓶里含有的水量。选择 C。

下面用“量守恒＋浓度计算”来证明——两者恰好相等。

一、第一次倒酒精

• 乙瓶向甲瓶倒入 20 mL 纯酒精。

  • 甲瓶：原来 200 mL 清水，加入 20 mL 纯酒精 → 总量 220 mL，含酒精 20 mL。
  • 乙瓶：剩余 200 − 20 = 180 mL 纯酒精。

此时甲瓶溶液中酒精浓度为

二、第二次倒回混合溶液

从甲瓶再倒出 20 mL 混合溶液到乙瓶。该 20 mL 中：

• 酒精：

  $$20\;\text{mL} \times \frac{1}{11} = \frac{20}{11}\;\text{mL}.$$

• 水：

  $$20\;\text{mL} \times \bigl(1 - \tfrac{1}{11}\bigr) = 20 \times \tfrac{10}{11} = \frac{200}{11}\;\text{mL}.$$

于是：

1. 甲瓶中剩余酒精量

   $$20 - \frac{20}{11} = \frac{220 - 20}{11} = \frac{200}{11}\;\text{mL}.$$

2. 乙瓶中含水量 乙瓶原来无水，倒入的 20 mL 混合液中水量正是

   $$\frac{200}{11}\;\text{mL}.$$

3. 结论

甲瓶中剩余的纯酒精量 $=\frac{200}{11}$ mL， 乙瓶中含的水量 $=\frac{200}{11}$ mL， 两者 相等。

因此，选择 C. 等于。

五、其他线段混合问题

例 某高铁从甲地出发向相距 1500 千米的乙地行驶，其中前一段路以 180 千米/小时的平均速度行驶，后一段路以 260 千米/小时的平均速度行驶，7 个小时恰好走完全程。则前一段路共行驶了多少千米？

• A. 540
• B. 630
• C. 720
• D. 810

解析：这是一个平均速度问题，可以用十字交叉法解决。 全程平均速度为 $\frac{1500}{7}$ 千米/小时。 两段路程的速度分别为 180 和 260。 根据十字交叉法，两段路程所用时间的比例为： $(\text{时间}_1) : (\text{时间}_2) = (260 - \frac{1500}{7}) : (\frac{1500}{7} - 180) = \frac{1820-1500}{7} : \frac{1500-1260}{7} = 320:240 = 4:3$。 总时间为 7 小时，所以第一段路用时 4 小时，第二段路用时 3 小时。 前一段路共行驶了 $180 \times 4 = 720$ 千米。因此，选择 C。

例 某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的 30%，且音乐系男女生人数之比为 1:3，美术系男女生人数之比为 2:3。问音乐系和美术系的总人数之比为多少？

• A. 2:1
• B. 3:2
• C. 2:3
• D. 1:2

解析：音乐系男生占本系人数比例为 $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4} = 25\%$。 美术系男生占本系人数比例为 $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} = 40\%$。 全院男生占总人数比例为 30%。 根据十字交叉法，两个系的总人数之比为： $(\text{音乐系总人数}) : (\text{美术系总人数}) = (40\% - 30\%) : (30\% - 25\%) = 10\% : 5\% = 2:1$。 因此，选择 A。

下面分步详细推导。

1. 设定符号 令

   $$M=\text{音乐系总人数},\quad A=\text{美术系总人数}.$$

2. 根据系内性别比列出各系男女人数

   • 音乐系男：女 = 1:3，总共 $M$ 人，故

     $$\text{音乐系男生} = \frac{1}{1+3}M = \frac{1}{4}M,\quad \text{音乐系女生} = \frac{3}{4}M.$$

   • 美术系男：女 = 2:3，总共 $A$ 人，故

     $$\text{美术系男生} = \frac{2}{2+3}A = \frac{2}{5}A,\quad \text{美术系女生} = \frac{3}{5}A.$$

3. 全院男生比例条件 已知学院男生占总人数的 30%，即

   $$\frac{\text{全院男生}}{\text{全院总人数}} = 0.30, \quad\text{即}\quad \frac{\tfrac{1}{4}M + \tfrac{2}{5}A}{M + A} = 0.30.$$

4. 解方程求比值

   $$\frac{\tfrac{1}{4}M + \tfrac{2}{5}A}{M + A} = 0.30 \;\Longrightarrow\; \tfrac{1}{4}M + \tfrac{2}{5}A = 0.30\,(M+A).$$

   两边同乘以 20（通分消去分母）：

   $$5M + 8A = 6(M + A) = 6M + 6A \;\Longrightarrow\; 5M + 8A = 6M + 6A.$$

   化简得

   $$8A - 6A = 6M - 5M \;\Longrightarrow\; 2A = M \;\Longrightarrow\; \frac{M}{A} = 2.$$

5. 结论 音乐系与美术系总人数之比为

   $$M : A = 2 : 1.$$

真题精讲

例 （2024 广东事业单位）杯中有 280ml 的水，加入浓度为 60%的酒精溶液后，杯中溶液的酒 精浓度为 18%，则加入的酒精溶液为（ ）ml。

• A.90
• B.120
• C.150
• D.180

解析

线段法（配合法） 已知：水 $0\%$，浓液 $60\%$，目标 $18\%$。 差比：$(60-18):(18-0)=42:18=7:3$。 体积比：水 : 60%溶液 $=7:3$。 已知水 $280\text{ ml}$ 对应 7 份，1 份 $=40\text{ ml}$，则 3 份 $=120\text{ ml}$。

方程校验 设加入 $x$ ml：$0.6x=0.18(280+x)\Rightarrow 0.42x=50.4\Rightarrow x=120$。

速判 目标 $18\%$ 更靠近 $0\%$（18 vs 42），故高浓液体积应更小：$120<280$，合理。

例（2023 上海事业单位）在 1000 克盐水中。加入 80 克盐，浓度比原来提高了约 6.67%，则原来盐水的浓度（ ）。

• A.3.33%
• B.10%
• C.16.67%
• D.20%

解析

设原盐水浓度为 $x\%$。 初始盐量 $=1000\times \frac{x}{100}=10x$ g。 加入 80 g 盐后：总质量 $=1080$ g，盐量 $=10x+80$ g， 新浓度 $=\dfrac{10x+80}{1080}\times100\%$。

题给“浓度提高约 $6.67\%$”（即提高 $6\frac{2}{3}$ 个百分点，$\frac{20}{3}\%$），故

两边同乘 1080：

检验：原盐量 $=100$ g；加入后盐量 $=180$ g；新浓度 $=180/1080=1/6=16.67\%$。 提升 $16.67\%-10\%=6.67\%$，与题意吻合。

例（2018 联考）现有一种浓度为 15%的盐水 30 千克，如果用 50 千克浓度更高的盐水和它混合，混合后的盐水浓度将大于 20%，而小于 35%。据此可知，后加入的盐水的浓度（假设浓度为 x） 范围是：

• A. 23%＜x＜47%
• B. 15%＜x＜35%
• C. 15%＜x＜23%
• D. 23%＜x＜50%

解析

用线段法（配比法）一步到位：

• 两份盐水质量比：$30:50=3:5$（低浓：高浓）

• 设目标混合浓度为 $T\%$（已知 $20\%<T<35\%$），线段法给出比例：

  $$\text{低浓:高浓}=(x-T):(T-15)=30:50=3:5$$

  由此

  $$\frac{x-T}{T-15}=\frac{3}{5}\ \Rightarrow\ 5(x-T)=3(T-15)\ \Rightarrow\ x=\frac{8T-45}{5}.$$

• 代入边界：

  • 当 $T=20\%$ 时，$x=\frac{8\times20-45}{5}=\frac{115}{5}=23\%$
  • 当 $T=35\%$ 时，$x=\frac{8\times35-45}{5}=\frac{235}{5}=47\%$

且混合后浓度随 $x$ 单调递增，所以

因此选 A。

例（2023 江苏）浓度分别为 68%、72%、78%的三种酒精溶液的总质量为 240 克。若将它们全部混合，则可得浓度为 74%的酒精溶液；若只将浓度为 72%和 78%的酒精溶液混合，则得浓度 为 76%的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为 72%的酒精溶液质量为（ ）

• A.30 克
• B.40 克
• C.48 克
• D.60 克

解析

用线段法（配比法）两步到位：

1. 先看 72% 与 78% 配成 76%

设它们质量分别为 $y:z=1:2$。

2. 把（72%+78%）视作 76%，与 68% 一起配成 74%

总质量 240 克 ⇒ 按 1:3 分成 4 份，每份 60 克： 68% 为 60 克，（72%+78%）为 180 克。再按 $1:2$ 分： $y=60$ 克，$z=120$ 克。

故 72% 溶液质量为 60 克。

例（2022 湖北选调）将一满容器浓度为 24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液浓度变为 36%且无沉淀。然后再用浓度为 12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度 变为多少？

• A.24%
• B.28%
• C.30%
• D.32%

解析

解法一 线段法： 设容器满容量为 $V$。

• 初始溶质：$0.24V$。
• 暴晒后无沉淀，溶质不变，浓度变为 $36\%$。 于是剩余体积 $V'=\dfrac{0.24V}{0.36}=\dfrac{2}{3}V$（容器还剩 $2/3$ 满）。
• 再用 $12\%$ 溶液把容器补满，补入体积为 $V-\dfrac{2}{3}V=\dfrac{1}{3}V$。

最终溶质：

总容量为 $V$，故最终浓度为 $28\%$。

（等价速算：最终是 $36\%$ 与 $12\%$ 按体积比 $2:1$ 的加权平均，$\dfrac{36\times2+12\times1}{3}=28\%$。）

解法二 假设法：

用“假设法”（设初始总质量为 100 g）：

1. 初始溶质：$24\%\times100=24$ g。
2. 暴晒后无沉淀，溶质仍为 24 g，但浓度变为 36%，则此时总质量

3. 为把容器加满到原来的 100 g，需要补入 $100-66.\overline{6}=33.\overline{3}$ g 的 12% 溶液，带来溶质

4. 最终溶质 $=24+4=28$ g，总质量 $=100$ g，故最终浓度

例（2024 联考）现有一容器，装有 100 克浓度为 75%的盐水，从中倒出 40 克盐水后，再加入 40 克纯净水，如此反复三次。问此时盐水的浓度是：

• A.16.20%
• B.9%
• C.1.62%
• D.0.90%

解析

使用反复操作公式

因此，答案为 A。