数列问题

等差数列

通项： $a_n = a_1 + (n-1)d$

前 n 项和： $S_n = \frac{n}{2}\big(2a_1 + (n-1)d\big) = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

1. 使用中位数考虑（即数列的中间项）

等比数列

通项： $a_n = a_1\, q^{\,n-1}$

前 n 项和（q \neq 1）： $S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$

前 n 项和（q = 1）： $S_n = n a_1$

特殊数列

1.公比为2的等比数列，部分和=下一项-首项 2.平方数连续两项的差是等差数列 3.自然数列出错，考虑用不等式限制范围

真题讲解

(2022江苏C)某金融机构向9家“专精特新”企业共发放了4500万元贷款，若这9家企业获得的贷款额从少到多排列，恰好为一个等差数列，且排第3的企业获得420万元贷款，排第8的企业获得的贷款额为：（不使用方程法） A 620万元 B 660万元 C 720万元 D 760万元

答案：A（620 万元）

思路（等差中项法，最快）

• 9 家金额成等差数列且总和 4500 万 ⇒ 中位数（第 5 家）等于平均数：$a_5=\frac{4500}{9}=500$
• 已知第 3 家：$a_3=420=a_5-2d\Rightarrow d=40$
• 第 8 家：$a_8=a_5+3d=500+3\times40=620$

校验

• 公差 $d=40$，首项 $a_1=a_3-2d=420-80=340$
• 末项 $a_9=a_1+8d=340+320=660$，首末和 $=1000$
• 总和 $=\frac{9}{2}\times1000=4500$ ✅

因此选 A. 620 万元。

(2022四川下)商场6月6日开始销售某种电器，从6月7日起，每天这种电器的销量都比前一天多1台。已知6月16日卖了22台这种电器，问其6月共卖了多少台这种电器? A 555 B 600 C 645 D 690

答案：B（600）

速解思路（等差数列）

1. 设 6 月 6 日为第 $1$ 天，日销量构成公差 $d=1$ 的等差数列。 6 月 16 日是第 $16-6+1=11$ 天，故 $a_{11}=22$。

2. 求首项：$a_1=a_{11}-(11-1)\times1=22-10=12$。

3. 6 月 6 日至 6 月 30 日共 $30-6+1=25$ 天，求和 $S_{25}=\dfrac{25}{2}\big(2a_1+(25-1)d\big)=\dfrac{25}{2}(24+24)=25\times24=600$。

因此本月共售 600 台。

（2012浙江）四个连续奇数的和为32，则它们的积为多少： A 945 B 1875 C 2745 D 3465

答案：D（3465）

速解 设四个连续奇数为 $a-3,a-1,a+1,a+3$，则

• 和为 $4a=32 \Rightarrow a=8$（中位数等于平均数）
• 积为 $(a^2-9)(a^2-1)=(64-9)(64-1)=55\times63=3465$

故选 D。

(2020山东)公司2017年每个月的销售额都比上个月高x万元。其9月的销售额是1月的2倍，11月的销售额为900万元。问该公司2017年全年的销售额是多少万元？

A 7200 B 7650 C 8100 D 8550

答案：C（8100 万元）

解法（等差数列）： 设 1 月为 $a_1$，公差为 $x$。

• 9 月：$a_9=a_1+8x=2a_1 \Rightarrow a_1=8x$
• 11 月：$a_{11}=a_1+10x=900 \Rightarrow 8x+10x=900 \Rightarrow x=50$，故 $a_1=400$

全年和：

因此全年销售额为 8100 万元。

(2020浙江B)一套试卷有若干道题，每题答对得10分，答错扣5分，不答扣3分。小郑答对、答错、不答的题目数量依次成等差数列，最后总分为95分，问这套试卷共有多少道题？

A 15 B 30 C 36 D 45

答案：D（45）

速解（使用等差数列中位数的性质）：设答对、答错、不答分别为 $c,w,b$，成等差 ⇒ $c=w-d,\ b=w+d$。

• 总分：$10c-5w-3b=10(w-d)-5w-3(w+d)=2w-13d=95$ … (1)
• 题目总数：$N=c+w+b=(w-d)+w+(w+d)=3w$ … (2)

由(2)知 $w=N/3$。代入四个选项：

• $N=15\Rightarrow w=5$：(1)给出 $10-13d=95\Rightarrow d=-85/13$（非整数）✗
• $N=30\Rightarrow w=10$：$20-13d=95\Rightarrow d=-75/13$（非整数）✗
• $N=36\Rightarrow w=12$：$24-13d=95\Rightarrow d=-71/13$（非整数）✗
• $N=45\Rightarrow w=15$：$30-13d=95\Rightarrow d=-5$（整数）✓

此时 $(c,w,b)=(20,15,10)$；校验分数：$10\cdot20-5\cdot15-3\cdot10=95$。 故试卷共有 45 道题。

(2022青海) 某市对下辖9个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5个团体的新创节目总数是60，前7个团体的新创节目总数是70。那么这9个文艺表演团体去年新创节目的总数是：

A 72 B 76 C 78 D 80

答案：A（72）

速解 设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$。

• 前5项和：$\displaystyle S_5=\frac{5}{2}(2a_1+4d)=60 \Rightarrow a_1+2d=12$
• 前7项和：$\displaystyle S_7=\frac{7}{2}(2a_1+6d)=70 \Rightarrow a_1+3d=10$

两式相减得 $d=-2$，代回得 $a_1=16$。

中项（第5项）：$a_5=a_1+4d=16-8=8$。 9项为奇数个，总平均数等于中项，故总和

$S_9=9\times a_5=9\times 8=72.$

因此选 A. 72。

（2019联考）一项工程按计划将用20天完成，为提高效率，从第三天开始，每天都比前一天多完成1倍，则完成这个工程至少需要的时间是

A 5天 B 6天 C 7天 D 8天

答案：B 6天

思路：

• 按计划 20 天完成，总工作量记为 1，则原计划每天完成量为 $1/20$。

• 第 1、2 天按原计划：各完成 $1/20$。

• 从第 3 天起每天是前一天的 2 倍：

  • 第3天：$2\times 1/20=1/10$
  • 第4天：$1/5$
  • 第5天：$2/5$
  • 第6天：$4/5$

累计：

• 前 5 天合计：$\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}<1$
• 加上第 6 天的 $4/5$ 后，累计 $>1$，工程在第 6 天内完成。

因此至少需要 6 天。

（2017联考）股神的骗局。就是所谓的“股神”第一天选定一批人，给其中一半人传递涨的信息，另一半传递跌的信息。第二天，在被传递正确信息的人中，再给其中一半人传递涨的信息，另一半人传递跌的信息。以此类推。若保证有人连续六天都接受到正确的消息，那么“股神”最初至少要选择的人数是：

A 8 B 64 C 32 D 16

答案：B 64

思路（简明） “股神”每天把「目前还全对的人」一分为二，分别发涨/跌。 设最初有人数为 $N$。

• 第1天后，仍然“全对”的至少有 $N/2$ 人；
• 第2天后，至少 $N/4$ 人；
• …
• 第6天后，至少 $N/2^6 = N/64$ 人。

要保证有人连续6天都收到正确消息，需 $N/64 \ge 1$，即 $N \ge 64$。 所以最少需要 64 人。

（2013四川下）假期里，王老师有一个紧急通知要通知到50位同学，假如每通知一位同学需要1分钟，同学接电话后也可以互相通知，要使所有同学都要接到通知至少需要几分钟：

A 5 B 6 C 7 D 8

答案：B 6

思路（等比数列求和公式）

• 设第 $t$ 分钟末已通知到的同学数为 $N_t$。起初 $N_0=0$。
• 每过1分钟，能打电话的人有：老师 + 已通知到的同学 $N_t$，各用1分钟各打给1位未通知同学。
• 所以最优情况下：$N_{t+1}=N_t+(N_t+1)=2N_t+1$。解得闭式：$N_t=2^t-1$。
• 要覆盖 50 人：$2^t-1 \ge 50 \Rightarrow 2^t \ge 51$。
• $2^5=32<51,\;2^6=64\ge 51$，故最少 6 分钟。

思路二 直接模拟求解

（2015河南）小明买了7本书共花去100元，后发现有一本书质量有问题，故补了若干元换了另外一本书。回来后发现，退换后7本书的价格成等差数列且均为整数元，而最贵的书价格为26元。问最便宜的书多少钱？

A 2元 B 6元 C 8元 D 14元

答案：C 8元

思路（精炼）

• 设最终7本价格成等差，末项为26，公差为整数 $d\ge1$。则首项 $a_1=26-6d$，总和 $S=\frac{7(a_1+26)}{2}=182-21d$。

• “补了若干元”说明最终总价 $S>100$；且价格为正整数要 $a_1>0\Rightarrow d\le4$。于是候选 $d=1,2,3$（$d=4$ 时 $S=98<100$ 不符）。

• 只换了一本：最终等差数列中有6本与原来一致，设换入的是某一项 $y$。则这6本之和为 $S-y$，须能与原价凑成100：存在整数 $x>0$ 使 $S-y=100-x\le99$，即需要存在一项 $y\ge S-99$。

  • $d=1$: $S=161\Rightarrow S-99=62$，无项 $y\ge62$（最大26），排除。
  • $d=2$: $S=140\Rightarrow S-99=41$，同理排除。
  • $d=3$: $S=119\Rightarrow S-99=20$，等差数列 $\{8,11,14,17,20,23,26\}$ 中可取 $y=20,23,26$，可行。

唯一可行的是 $d=3$，故首项 $a_1=26-6\times3=8$。 因此最便宜的一本是 8元。

(2015上海)国际象棋棋盘为64方格，用铅笔从第一格开始填写1，第二格填写2，第三格填写3,以此类推至64，然后用橡皮将所有能被3整除的数全部擦掉，则所剩数字的总和是__。

A2408 B1387 C 1408 D1487

答案：B 1387

思路（简洁）

• 总和：$1+2+\cdots+64=\frac{64\cdot65}{2}=2080$。
• 被擦掉的是 3 的倍数：$3,6,\dots,63=3(1+2+\cdots+21)=3\cdot\frac{21\cdot22}{2}=693$。
• 剩余总和：$2080-693=1387$。

甲和乙两个汽车销售经理上个月都超额完成了自己的月度任务，已知公司奖金计算方法是超任务销售一辆汽车奖励100元，第2、3、4…辆车奖励300、500、700…元。如两人当月合计得到1万元的销售奖金，问他们两人本月合计超任务销售了多少辆车？

A 15 B 16 C 17 D 14

答案：D 14

思路

• 奖金序列：第 $n$ 辆超额车奖金为 $100,300,500,\dots$，等差 $d=200$，首项 $a_1=100$。

• 个人卖超 $m$ 辆的总奖金：

  $S_m=\frac{m}{2}\big(2\cdot100+(m-1)\cdot200\big)=100m^2$

• 甲、乙合计奖金 $100m_1^2+100m_2^2=10000\Rightarrow m_1^2+m_2^2=100$。

• 又两人都“超额完成”，故 $m_1,m_2\ge1$。整数解只有 $(6,8)$（或对换）。

• 合计超额辆数 $6+8=14$。

（2014山东）某单位举办围棋联赛，所有选手的排名都没有出现并列名次。小周发现除自己以外，其他所有人排名数字之和正好是70。问小周排名第几：

A 7 B 8 C 9 D 10

答案：B 8

思路（简洁） 全体名次和为 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。除小周外其余人的名次和为

$\frac{n(n+1)}{2}-r=70 \ \Rightarrow\ r=\frac{n(n+1)}{2}-70,$

需满足 $1\le r\le n$。

找 $n$ 使 $70<\frac{n(n+1)}{2}\le 70+n$。

• $n=12$: $\frac{12\cdot13}{2}=78$，得 $r=78-70=8$（符合 $1\le r\le12$）；
• 其他 $n$ 不满足条件。

故小周排名第 8。

（2023深圳）某书的页码是从1开始的连续自然数，1，2，3，4，······莎莎将该书页码全部相加时，不小心将其中某页码多加了1次，结果和为2003，则被多加的页码为（）。

A 45 B 50 C 56 D 62

答案：B 50

思路（简洁） 设全书共有 $n$ 页，被多加的页码为 $k$。正常总和为 $\frac{n(n+1)}{2}$，多加一次后为

$\frac{n(n+1)}{2}+k=2003 \;\Rightarrow\; \frac{n(n+1)}{2}=2003-k.$

在选项中检验 $2003-k$ 是否为三角数：

• $k=50$: $2003-50=1953=\frac{62\cdot63}{2}$（成立，$n=62$ 且 $k\le n$）。
• 其他选项对应的数并非三角数。

故被多加的页码是 50。

(2022浙江C)某市举行庆典活动，将依次升空105架无人机，升空方式如下：每架无人机间距均相等，第一次升空n架，第二次升空n-1架，以此类推，最终在夜空中组成一个近似等边三角形背景的灯光秀，那么第10次升空的无人机数量是：

A 3架 B 5架 C 8架 D 10架

答案：B（5架）

思路：总数 $105=n+(n-1)+\cdots+1=\frac{n(n+1)}{2}$。 解方程 $n(n+1)=210\Rightarrow n=14$（取正整数）。 第10次升空数量：$14-(10-1)=14-9=5$。

(2015上海B)考场有16排座位，第一排有16个座位，以后各排都比前一排多一个座位，如果允许考生任意坐，但不能坐在其他考生的旁边，这考场最多能容纳__名考生。

A 188 B 192 C 196 D 200

答案：B（192）

思路（仅限制同排相邻）：

• 第$k$排有 $15+k$ 个座位（从16到31）。

• 一排中最多可坐的人数为 $\lceil m/2\rceil$（隔一个坐一个）。

• 计算：

  • 偶数座排（16,18,…,30）：和为 $16/2+18/2+\cdots+30/2=8+9+\cdots+15=92$。
  • 奇数座排（17,19,…,31）：和为 $(17+1)/2+\cdots+(31+1)/2=9+10+\cdots+16=100$。

• 总数 $92+100=192$。