数量关系 第十一课 周期问题

一、循环周期

周期：事物在变化的发展过程中，某些特征循环反复出现，其连续两次出现所经过的时间或者次数。

周期的特点

① 循环周期问题中，无论起始点在哪，每个周期内对应对象个数恒定。

所以我们重点关注完整周期个数，与余数时间内个数。

② 如果周期长度为a，那么在这个周期内第t天发生的事情，在后面的周期中，第 $t + n \times a$ 天都会发生。

二、单周期问题

例题1：单周期应用

题目：某支部的每名党员均以5天为周期，在每个周期的最后1天内提交1篇学习心得。某年的1月1日是周日，在1月1日—5日的5天内，支部分别收到2篇、3篇、3篇、1篇和1篇学习心得。问当年前12周（每周从周日开始计算）内，支部共收到多少篇学习心得？

• A. 170
• B. 169
• C. 120
• D. 119

解析：

前12周一共 $12 \times 7 = 84$ 天，$84 \div 5 = 16\dots4$，即一共有16个5天周期余4天，而每个周期内会收到 $2 + 3 + 3 + 1 + 1 = 10$ 篇心得，最后4天收到 $2 + 3 + 3 + 1 = 9$ 篇心得，所以共收到 $16 \times 10 + 9 = 169$ 篇，所以选择B。

第一步：分析提交规律

• 每名党员以5天为一个周期提交学习心得，这意味着提交数量的规律以5天为一个循环。
• 题目给出了第一个5天周期（1月1日-1月5日）内每天收到的数量：2篇、3篇、3篇、1篇、1篇。
• 因此，这5天的提交模式会一直重复下去。
• 在一个完整的5天周期内，支部共收到：$2 + 3 + 3 + 1 + 1 = 10$ 篇学习心得。

第二步：确定总天数

• 题目要求计算前12周内收到的总数。
• 每周有7天。
• 总天数为：$12 \text{周} \times 7 \text{天/周} = 84$ 天。

第三步：计算总提交量

• 我们将84天分成若干个完整的5天周期和剩余的天数。
• 完整的周期数：$84 \div 5 = 16$ 个，余4天。
• 在16个完整的周期内，收到的学习心得总数为：$16 \text{个周期} \times 10 \text{篇/周期} = 160$ 篇。
• 剩下的4天，会按照5天周期的前4天规律来接收，即分别收到2篇、3篇、3篇和1篇。
• 剩余4天收到的数量为：$2 + 3 + 3 + 1 = 9$ 篇。

第四步：得出最终结论

将完整周期内收到的数量和剩余天数收到的数量相加，即可得到总数。

总数 = $160 + 9 = 169$ 篇。

答案： 当年前12周内，支部共收到 169 篇学习心得。

三、多周期问题

① 当一个数是a的倍数，也是b的倍数，则这个数必然是a、b最小公倍数的倍数。

② 一件事的周期为a，一件事的周期为b，则同时符合这两件事循环的大周期是a、b最小公倍数，大周期也满足周期的所有特点。

③ 在一定日期内，周期数最大值 $= \frac{\text{总天数}}{\text{周期天数}}$ 向上取整，最小值 $= \frac{\text{总天数}}{\text{周期天数}}$ 向下取整。

注意点

每n天 = 以n天为1次周期

每隔n天 = 每 $n + 1$ 天

特殊时长：

• 闰年2月29天 = $4 \times 7 + 1$
• 小月30天 = $4 \times 7 + 2$
• 大月31天 = $4 \times 7 + 3$
• 第三季度 = 92天 = $13 \times 7 + 1$

例题2：多周期应用

题目【模版题】：公司的门卫岗与消防岗均采用轮班制，门卫岗每隔两天值一天班，消防岗每4天值一天班，节假日无休息。小张是门卫，小王是消防员，则小张和小王在2019年中一个自然月里同时上班最多有（）天。

• A. 8
• B. 4
• C. 3
• D. 2

解析：

门卫每3天值班1次，消防每4天值班1次，所以门卫消防同时值班日期循环周期为12天，一个自然月最多31天，则同时值班天数最大值 $= \frac{31}{12}$ 向上取整 $= 3$ 次，所以选择C。

这是一个典型的最小公倍数问题。

1. 确定每个人的工作周期：

   • 小张（门卫岗）：每隔两天值一天班，意味着他的工作周期是“上班、休息、休息”，总共是3天一个循环。
   • 小王（消防岗）：每4天值一天班，意味着他的工作周期是4天一个循环。

2. 计算两人同时上班的周期：

   • 要计算他们同时上班的频率，我们需要找到他们各自工作周期的最小公倍数。
   • 3和4的最小公倍数是 $3 \times 4 = 12$。
   • 这意味着，如果他们某一天同时上班了，那么下一次同时上班将在12天之后。

3. 计算在一个自然月内最多同时上班的天数：

   • 一个自然月最多有31天（例如1月、3月、5月等）。我们需要计算在31天内，最多能有多少个“同时上班日”。
   • 他们的同时上班日序列是：第N天，第N+12天，第N+24天，第N+36天……
   • 为了让一个月内包含尽可能多的同时上班日，我们假设他们同时上班的第一天是这个月的第1天。
   • 第一次：第1天
   • 第二次：第 $1 + 12 = 13$ 天
   • 第三次：第 $13 + 12 = 25$ 天
   • 第四次：第 $25 + 12 = 37$ 天（这已经超出了任何一个月的天数）
   • 因此，在一个最长的月份（31天）里，他们最多可以同时上班3天。

结论： 小张和小王在2019年中一个自然月里同时上班最多有3天。

因此，正确答案是 C。

四、余数问题

最小公倍数作周期，余间取余，差同减差，和同加和。

当一个数 $= 3a + 1 = 4b + 1$ ，即整除3余1，整除4也余1，则这个数整除 $3\times 4 = 12$ 余1。即当这个数 $= 3a - 2 = 4b - 3$ 时，这个数整除 $3\times 4 = 12$ 余1。

当一个数 $= 3a - 1 = 4b - 1$ ，即整除3缺1，整除4也缺1，则这个数整除 $3\times 4 = 12$ 缺1；即当这个数 $= 3a + 2 = 4b + 3$ 时，这个数整除 $3\times 4 = 12$ 缺1。

当一个数 $= 3a + 2 = 3(a- 1) +5 = 4b + 1 = 4(b- 1) +5$ ，则这个数整除12余5。

例【模版题】 学生在操场上列队做操，只知人数在90- 110之间。如果排成3排则不多不少；排成5排则少2人；排成7排则少4人；则学生人数是多少？

A.102 B.98 C.104 D.108

解析一：学生排成5排少2、7排少4，所以人数 $= 5a - 2 = 7b - 4 = 5(a - 1) + 3 = 7(b - 1) + 3$，同余，所以这个数 $= 35c + 3$。90-110中只有 $108 = 35\times 3 + 3$，所以选择 D。

解析二：学生排成3排不多不少，所以人数是3的倍数，排除B、C。剩下A、D代入验证，如果是102人，排成5排少3人，不符合题意，排除，所以选择 D。

• “排成3排不多不少” ⇒ $N\equiv0\pmod{3}$
• “排成5排少2人” ⇒ $N\equiv-2\equiv3\pmod{5}$
• “排成7排少4人” ⇒ $N\equiv-4\equiv3\pmod{7}$

由后两条：$N\equiv3\pmod{35}$ ⇒ 设 $N=35k+3$。 再代入 $3$ 的条件：$35k+3\equiv2k+3\equiv0\pmod{3}$ ⇒ $2k\equiv0\pmod{3}$ ⇒ $k\equiv0\pmod{3}$。

取 $k=3$ 得 $N=35\times3+3=108$，且 $90\le N\le110$ 唯一满足。 校验：$108\div3$整除；$108\equiv3\pmod5$（少2人）；$108\equiv3\pmod7$（少4人）。

例【模版题】 N为自然数，被9除余数是8，被7除余数是6，被5除余数是4，已知 $100< N< 1000$ ，则这样的数有（）个

A.1 B.2 C.3 D.4

解析 $9 - 8 = 7 - 6 = 5 - 4 = 1$ , $N = 9a - 1 = 7b - 1 = 5c - 1$ ,所以 $N = 315n - 1$ ,则 $100< 315n - 1< 1000$ ,所以 $n = 1$ 、2、3,三个解,所以这样的数有3个,选择C选项。

推导

• 余数分别为 $8,6,4$ 等价于 $N\equiv-1\pmod{9,7,5}$。
• 因为 $9,7,5$ 互素，故 $N\equiv-1\pmod{315}$，即 $N=315k-1$。
• 由 $100<N<1000$：$101<315k<1001\Rightarrow k=1,2,3$。
• 对应 $N=314,629,944$，共 3 个。

例【模版题】 一个三位数除以9余6,除以5余1,除以4余2,这样的三位数共有()个

• A.5个
• B.6个
• C.7个
• D.8个

解析这个数除以5余1,除以4余2, $5 + 1 = 4 + 2 = 6$ ,和同加和,所以这个数除以20余6。又因为除以9也余6,余同取余,这个数除以180余6,可以写为 $180n + 6$ ,因为 $999\div 180 = 5.99$ ,所以这样的三位数有5个。(186、366、546、726、906)

这是一个利用中国剩余定理解题的经典问题。

1. 将问题转化为数学表达式

设这个三位数为 N。根据题意，我们可以列出以下三个同余方程：

• $N \equiv 6 \pmod 9$
• $N \equiv 1 \pmod 5$
• $N \equiv 2 \pmod 4$

同时，N 是一个三位数，所以 $100 \le N \le 999$。

2. 逐步求解同余方程

我们从后两个方程开始：

• 由 $N \equiv 2 \pmod 4$ 可知，N 可以表示为 $N = 4k + 2$ (其中k为整数)。
• 将这个表达式代入第二个方程 $N \equiv 1 \pmod 5$： $4k + 2 \equiv 1 \pmod 5$ $4k \equiv -1 \pmod 5$ 为了方便计算，可以将 $-1$ 替换为 $4$（因为 $-1 \pmod 5$ 和 $4 \pmod 5$ 是等价的）： $4k \equiv 4 \pmod 5$ 两边同除以4，得到： $k \equiv 1 \pmod 5$ 所以，k 可以表示为 $k = 5j + 1$ (其中j为整数)。
• 现在将 $k = 5j + 1$ 代回到 N 的表达式中： $N = 4(5j + 1) + 2$ $N = 20j + 4 + 2$ $N = 20j + 6$ 这个结果 $N \equiv 6 \pmod{20}$ 同时满足了后两个条件。

3. 合并所有条件

现在我们将上面的结果与第一个条件 $N \equiv 6 \pmod 9$ 合并：

• $N \equiv 6 \pmod{20}$
• $N \equiv 6 \pmod 9$

我们发现余数都是6。这意味着 N-6 既是20的倍数，也是9的倍数。因此，N-6 必须是20和9的最小公倍数的倍数。

• 计算20和9的最小公倍数（LCM）： $LCM(20, 9) = 180$
• 所以，N-6 是180的倍数。我们可以写出 N 的通解： $N - 6 = 180m$ (其中m为整数) $N = 180m + 6$

4. 在指定范围内寻找解

我们需要找到所有满足 $100 \le N \le 999$ 的解。将通解代入不等式： $100 \le 180m + 6 \le 999$

解这个关于 m 的不等式： $100 - 6 \le 180m \le 999 - 6$ $94 \le 180m \le 993$ $\frac{94}{180} \le m \le \frac{993}{180}$ $0.52... \le m \le 5.51...$

由于 m 必须是整数，所以 m 可能的取值为 1, 2, 3, 4, 5。

结论

m 共有5个可能的整数值，每个值对应一个满足条件的三位数 N：

• m=1: N = 180(1) + 6 = 186
• m=2: N = 180(2) + 6 = 366
• m=3: N = 180(3) + 6 = 546
• m=4: N = 180(4) + 6 = 726
• m=5: N = 180(5) + 6 = 906

因此，这样的三位数共有 5 个。

例【模版题】 某地政府为了关爱渔民打渔安全,专门采购了一批救生衣打算发放给当地渔民,如果每名渔民发放2件,则多出13件;如果每名渔民发放3件,则还少5名渔民的量,请问这批救生衣一共多少件?( )

A.69件 B.57件 C.71件 D.66件

解析发两件多13,发三件少 $3\times 5 = 15$ ,每人多发一件一共多发 $13 + 15 = 28$ 件,所以28人,所以一共 $28\times 2 + 13 = 69$ 件,所以选择A选项。

五、特殊情况

若一个数 $= 5a + 1 = 8b + 3$，不存在余数规律，则以较大周期者（$8b + 3$）枚举，找出第一个符合另一个周期（$5a + 1$）的数，再以最小公倍数作周期。发现，$11 = 8\times 1 + 3 = 5\times 2 + 1$，所以这个数 $= 11 + 40a$。

例某单位将100多名实习生分配到2个不同的部门中,如果要按照5:9的比例分配,则需要额外招4个实习生才能按要求比例分配。如要按照7:11的比例分配,最后会多出2个人,问该单位至少需要再招几个实习生才能按照3:7的比例分配给2个部门?

A.2 B.4 C.6 D.8

解析根据题意可知,原人数 $= 14a - 4 = 18b + 2$ ,不适用同余规律,枚举:20、38. ..发现 $38 = 14\times 3 - 4 = 18\times 2 + 2$ ,14与18最小公倍数为126,所以原人数 $= 38 + 126a$ 。因为是一百多名实习生,所以只能是 $38 + 126 = 166$ 人,要至少再招4人变成170人才能按照总份数10份的3:7比例分配。所以选择B。

六、日期问题

基础思考框架 1.任意一个月=4周+若干天 2.平移碰到整数周直接跳过

例某年份的2月有五个星期天，问下一年的五一劳动节是星期几：

A.星期一 B.星期三 C.星期五 D.星期日

解析 平年2月28天是4周，固定有4个周日，所以只能是闰年2月29天存在5个周日。前面28天必然有4个周日，所以2月29号是第5个周日。则下一年五一劳动节是今年2月29号后 $365 + 31 + 30 + 1 = 427$ 天， $427\div 7 = 61$ 个完整的周期，所以下一年五一劳动节还是周日，选择D。

例甲、乙、丙三人都报名去摄影馆学习摄影技术，甲每隔4天去一次，乙每隔5天去一次，丙每隔6天去一次，三人在星期四第一次相遇，下次相遇的日期为：

A.星期一 B.星期三 C.星期四 D.星期五

解析根据题意，甲每5天去一次，乙每6天去一次，丙每7天去一次，5、6、7的最小公倍数是 $5\times 6\times 7 = 210$ 天，所以甲乙丙三人下次相遇是210天之后，而 $210\div 7 = 30$ 周，所以下次相遇还是星期四，选择C。

解析二：丙每7天去一次，所以丙每次去都是星期四，所以下次相遇也必然是星期四。

例为维护办公环境，某办公室四人在工作日每天轮流打扫卫生，每周一打扫卫生的人给植物浇水。7月5日周五轮到小玲打扫卫生，下一次小玲给植物浇水是哪天？

A.7月15日 B.7月22日 C.7月29日 D.8月5日

解析一列日期表，每4个工作日小玲来一次，可知7月29日这个周一小玲负责浇水，所以选择 C。

解析二只看当月工作日，5天为周期循环，其中4人轮流打扫卫生，4天为周期循环， $4 + 1 = 5$ ，所以在5天的周期中，每次小玲出现会提前一天。从周五提前到周一需要4次，所以还需要过 $4\times 4 = 16$ 个工作日小玲才能到周一。7月5日是周五，16个工作日 $= 2$ 天周末 $+3$ 周 $+1$ 天，一共24天，所以需要到 $5 + 24 = 29$ 号小玲才能周一给植物浇水，选择C选项。

提示：相对复杂的周期问题建议快速列表枚举

一日期循环极限个数型问题

核心思想

排除所有完整周期，观察剩下余数个数情况，找到有限解

例已知某年的4月有5个星期二和4个星期三，那么可以推出，当年的劳动节是（）。

A. 星期三 B. 星期四 C. 星期五 D. 星期六

解析 4月一共30天，前28天 $= 4 \times 7$ ，必然有4个周二、4个周三，所以后面第29、30天有1个周二、0个周三，所以只能是第29天是周一、30天是周二，即4月30为周二，所以劳动节5月1号是周三，选择A。

例小航每星期二、四、六晚上会去图书馆看书，已知10月份她第4次去图书馆看书是在10月10日，则11月份她第1次去图书馆看书是（）。

A.星期二 B.星期四 C.星期六 D.星期二或者星期四

解析 10月份前10天一共去了4次，而前7天为一个周期必然去3次，所以8号、9号、10号3天只能10号这天去1次，只有周日、周一、周二符合情况（10号是周四/周六的话，8号也必然去1次，矛盾）。所以10月10号是周二，则10月31号多出21天也是周二，11月第一次去图书馆则是周四，所以选择B。

例小张每周二、周五和周日固定参加骑行社团活动。某年9月和10月，小张分别参加了13次和14次活动。问当年他最后一次参加活动是在哪一天？

A.12月31日 B.12月30日 C.12月29日 D.12月28日

解析 9月10月一共 $30 + 31 = 61$ 天，其中前面 $7 \times 8 = 56$ 天是8个周期，必然参加 $3 \times 8 = 24$ 次，则剩下5天必须参加 $13 + 14 - 24 = 3$ 次。5天3次，只能是最集中的周五、周六、周日、周一、周二排布，所以10月31日是周二。当年还剩下11月、12月一共61天，则再过 $7 \times 8 = 56$ 天依旧是周二参加，剩下5天最后一天是周日也参加，所以当年最后一次参加活动是最后一天12月31日，选择A。

例张先生在某个闰年中的生日是某个月的第四个也是最后一个星期五，他生日的前一个和后一个月正好也只有4个星期五。问当年的六一儿童节是星期几：

A.星期一 B.星期三 C.星期五 D.星期日

解析连续3个月一共存在12个星期五，所以这3个月最多有 $12 \times 7 + 6 = 90$ 天，且最后6天不能有周五。闰年3个月只有90天的情况只有二月 $+$ 三月 $+$ 四月的 $29 + 31 + 30$ 组合，因为最后6天没有周五，所以4月30日是周四，5月31日是31天 $= 4 \times 7 + 3$ 天后，所以5月31号是周日，则六一儿童节是周一，所以选择A。

例单位每周三组织篮球活动。已知2024年1月1日是周一，那么2024年组织5次活动的月份有几个？

A.1 B.2 C.3 D.4

解析 2024年是闰年，每个月最少29天最多31天， $29 = 4 \times 7 + 1$ ， $31 = 4 \times 7 + 3$ ，所以每个月至少4次活动最多5次活动，如果5次活动的月份有x个，则全年活动次数 $= 4 \times 12 + n$ 。反之我们可以计算全年活动次数倒推5次的月份个数。全年366天， $366 \div 7 = 52. .2$ ，最后2天是周一周二，不包含周三，所以一共有52个周三即52次活动， $52 = 4 \times 12 + 4$ ，所以有4个月是组织了5次活动，选择D选项。

七、周期容斥问题

存在a且b的个数 = 以a、b的最小公倍数为周期统计的个数

存在a或b的个数 = 以a为周期的个数 + 以b为周期的个数 − 以a、b的最小公倍数为周期的个数

容斥原理

$A \cup B = A + B - A \cap B$

例题：在自然数1到100中，既不是3又不是4的倍数的个数有多少个？

A.25 B.33 C.42 D.50

解析 是3或4的倍数的个数 $= \left\lfloor\frac{100}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{100}{4}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{100}{12}\right\rfloor = 33 + 25 - 8 = 50$，所以既不是3也不是4的倍数的个数 $= 100 - 50 = 50$ 个，选择D选项。

三容斥

$A \cup B \cup C=A+B+C- A \cap B - A \cap C - B \cap C + A \cap B \cap C$

例题：某校组织新生入学抽查检测，学生编号为1、2、3…1200，然后将编号为2的倍数的同学删除，再将编号为3的倍数的同学删除，最后将编号为5的倍数的同学删除，请问还剩下多少名同学参加检测？（）

A.120 B.240 C.320 D.400

解析是2或者3或者5的倍数的同学个数 $= \frac{1200}{2} +\frac{1200}{3} +\frac{1200}{5} - \frac{1200}{6} - \frac{1200}{10} - \frac{1200}{15} +\frac{1200}{30}$ $= 600 + 400 + 240 - 200 - 120 - 80 + 40 = 1240 - 400 + 40 = 880$ 个，所以剩下 $1200 - 880 = 320$ 名同学参加检测，选择C选项。

例题：网管理员小刘负责甲、乙、丙三个机房的巡检工作，甲、乙和丙机房分别需要每隔2天、4天和7天巡检一次。3月1日，小刘巡检了三个机房，问他在整个3月有几天不用做机房的巡检工作：

A.12 B.13 C.14 D.15

解析为保证每一个完整周期才有一次，先剔除3月1日，分析3.2- 3.31这30天的情况。后面这30天里小刘做机房巡检工作的日子一共有 $\frac{30}{3} +\frac{30}{5} +\frac{30}{8} - \frac{30}{15} - \frac{30}{40} - \frac{30}{24} +\frac{30}{120} = 10 + 6 + 3 - 2 - 0 - 1 + 0 = 16$ 天，而3月1日也是做机房巡检工作的，所以不做机房巡检工作的日子有 $30 - 16 = 14$ 天，选择C选项。

小技巧：当整个日期内第一天都满足时，可以先把第一天剔除最后再加上即可，以保证剩下的日子里的完整周期数 $=$ 对象个数，便无需考虑余数日期内的对象个数。

八、交替周期问题

两人效率不同轮流开展工作，以2人为1次周期。

$①$ 甲、乙、甲、乙、甲、乙、甲、乙、甲、乙、甲、

$②$ 乙、甲、乙、甲、乙、甲、乙、甲、乙、甲、乙、

例单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间（）。

A.13小时40分 B.13小时45分 C.13小时50分 D.14小时

解析同一项工作工程量不变，时间与效率成反比，甲乙时间比为4：3，所以甲乙效率比3：4，赋值甲效率3，乙效率4，工程量为 $3\times 16 = 48$ ，则按照甲乙轮流的顺序工作，一次甲乙轮流工程量为 $3 + 4 = 7$ $\frac{48}{7} = 6\dots 6$ 6次周期后，还剩下6的工程量，需要甲1小时 + 乙$\frac{3}{4}$小时，所以一共需要 $6\times 2 + 1 + \frac{3}{4} = 13\frac{3}{4}h$ 即13小时45分钟，所以选择 B。

例规定两人轮流做一批零件，第一个人先做一个小时，第二个人做一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做完该批零件需要9.8小时，而乙、甲轮流做完该批零件只需要9.2小时，则乙单独做需（）小时。

A.4.85 B.5.15 C.6.05 D.7.25

解析两种情况下，前8小时工程量相同，都是4小时甲 $+4$ 小时乙。所以第一种情况后面部分的1小时甲 $+0.8$ 小时乙 $=$ 第二种情况的1小时乙 $+0.2$ 小时甲，所以0.8小时甲 $= 0.2$ 小时乙，即甲乙效率比为1：4，赋值甲效率1，乙效率4，则工程总量 $= 5 + 4.8\times 4 = 24.2$ ，由乙单独来做需要 $\frac{24.2}{4} = 6.05$ 小时，所以选择 C。

例一批药品需要检测，若第一天由甲检测，第二天由乙检测，按此方式交替完成的天数为整数。若第一天由乙检测，第二天由甲检测，按此轮替，那么在按前者轮流方式完工的天数后，还有56个药品未检测。已知甲、乙工作效率之比为9：5。问甲每天检测多少个药品？（）

A.72 B.99 C.112 D.126

解析交替循环换顺序后相同天数完成量不同，则不可能是2n天的完整周期，否则完成量必然相同。所以必然是 $2n + 1$ 的天数,完成量差距仅在最后一天上,所以甲一天工作量- 乙一天工作量 $= 56$ ,而甲乙效率比 $= 9$ :5,根据比例差关系,4份 $= 56$ ,9份 $= 126$ ,所以选择D。

例公园水池每周需换一次水。水池有甲、乙、丙三根进水管。第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、…的顺序轮流打开1小时,恰好在打开水管整数小时后灌满空水池。第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲…的顺序轮流打开1小时,灌满一池水比第一周少用了15分钟;第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲…的顺序轮流打开1小时,比第一周多用了15分钟。第四周他三个管同时打开,灌满一池水用了2小时20分,第五周他只打开甲管,那么灌满一池水需用多少小时?

A.6小时20分 B.7小时 C.7小时12分 D.8小时40分

解析因为三种情况用时不同,所以第一周不会是完整周期,只可能是余1小时或者2小时。因为第二周、第三周前2小时都是1乙 $+1$ 丙,而总用时不同,所以不可能是余2小时,所以第一周用时必然是余1小时,即n×(甲+乙+丙)+甲。第二周是n×(乙+丙+甲)+乙,第三周是n×(丙+乙+甲)+丙+1乙,所以1甲 $= \frac{3}{4}乙 = 丙 +\frac{1}{4}乙$ ,根据比例关系赋值甲效率3,乙效率4,丙效率2,则第四周每小时总效率 $= 3 + 4 + 2 = 9$ ,所以总水量 $= 9\times 2\frac{1}{3} = 21$ ,则第五周需要用时 $\frac{21}{3} = 7$ 小时,所以选择 B。

九、方阵问题

方阵原理

方阵边长为n人

方阵总人数 $= n^{2}$

最外圈人数 $= 4(n- 1)$

相邻两圈人数差 $= 8$ (最内圈 $= 1$ 时为特殊情况)

例军训汇报表演时,若某方阵最外层有72人,则此方阵共有( )人。

A.256 B.324 C.360 D.361

解析最外圈人数 $= 4\times (n- 1) = 72$ ,解得 $n = 19$ ,所以一共有 $19^{2} = 361$ 人,选择 D。

例小明用石子摆了一个实心方阵,若再给方阵加上一行一列要多用17颗石子,则新添加后的方阵总共有( )颗石子。

A.49 B.64 C.81 D.100

解析增加一行需要 $n$ 个石子,一列需要 $n$ 个石子,还需要一行一列相交的交点处1个石子,所以 $2n + 1 = 17$ , $n = 8$ ,所以一共有 $8^{2} + 17 = 64 + 17 = 81$ 颗石子,选择C。

例某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵和一个彩旗方阵,两个方阵分别入场完毕后又合成一个方阵,鲜花方阵的人恰好组成新方阵的最外圈。已知彩旗方阵比鲜花方阵多28人,则新方阵的总人数为()。

A.100 B.144 C.196 D.256

解析设原来彩旗方阵每一边人数为 $n$ ,则彩旗方阵人数 $= n^{2}$ ,鲜花方阵人数 $= n^{2} - 28$ 。彩旗方阵加了一圈之后,人数 $= (n + 2)^{2}$ ,所以 $(n + 2)^{2} = n^{2} + n^{2} - 28$ , $n^{2} + 4n + 4 = 2n^{2} - 28$ , $n^{2} - 4n - 32 = 0$ , $(n - 2)^{2} = 36$ ,解得 $n = 8$ 。所以新方阵人数 $= (8 + 2)^{2} = 100$ 人,所以选择A选项。

例题：有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共44人，则该方阵士兵的总人数是（）。

• A. 156人
• B. 210人
• C. 220人
• D. 280人

解析方阵最外圈人数 $=$ (边长 $- 1)\times 4$ ,相邻两层人数相差8人,而外层人数60,中间层是44,说明整个中空方阵人数是 $60 + 52 + 44 + 36 + 28 = 44\times 5 = 220$ 人,所以选择 C。

例某市举行庆典活动,将依次升空105架无人机,升空方式如下:每架无人机间距均相等,第一次升空n架,第二次升空n- 1架,以此类推,最终在夜空中组成一个近似等边三角形背景的灯光秀,那么第10次升空的无人机数量是:

A.3架 B.5架 C.8架 D.10架

解析因为最终是近似等边三角形的背景,所以最后一次升空是1架无人机,否则形成的是梯形背景。则无人机总数量 $= n + n - 1 + n - 2 + \ldots + 2 + 1$ ,根据等差数列求和公式,总量 $105 = \frac{n + 1}{2}\times n$ ,即 $n\times (n + 1) = 210$ ,解得 $n = 14$ ,所以第10次升空的数量 $n - 9 = 14 - 9 = 5$ 架,选择 B。

十、枚举找规律型周期问题

例题：500个同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与7的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与4的和。现在让第一位同学报1，问：最后一个同学报的是几？（）

A.8 B.9 C.10 D.11

解析 根据规则列举后续同学报数：1、8、15、9、16、10、4、11、5、12、6、13、7、14、8、15、9，到第15人时出现了与第2人相同的8，由于规则不变，所以第15人后续报数情况必然和第2人后续相同，出现周期循环，循环周期长度 $= 13$ 人，除去最前面1位无规律的，剩下 $499\div 13 = 38\dots 5$ ，所以最后一位报数 $=$ 周期第5位报数 $= 10$ ，所以选择C选项。

十一、首尾周期问题

例 产品出货前需要在仓库堆放成一排贴标签。小王从左侧第一个开始贴黄色标签，之后每隔2件产品贴一个黄色标签；小李从右侧第一个开始贴红色标签，之后每隔3件产品贴一个红色标签。最终这批产品有11件产品两种标签都有，则这批产品最少有多少件？

A.132 B.66 C.120 D.121

解析 黄色标签周期 $= 3$ ，红色标签周期 $= 4$ ，所以同时黄色 $+$ 红色标签周期为12，现要存在11个，至少需要 $10\times 12 + 1 = 121$ 件，所以选择D选项。

例 100本书叠放起来，先从上往下数一遍，数到6的倍数在该书上做一个标识，一直数完。再从下往上数一遍，每数到7的倍数在该书上做一个标识，一直数完。问没被标识的书一共有多少本？

A.70 B.71 C.72 D.73

解析 从上往下分别记为1、2、3…100，则6的倍数即6a会被标识，标识了 $100\div 6 = 16$ 次。从下往上数第一本被标记的是 $100 - 7 + 1 = 94 = 3 + 7\times 13$，所以7本的周期会让序号为 $3 + 7b$ 的书被标识，共14次。重复标识需满足 $6a = 7b + 3$，这是特殊余数情况，枚举得第一个重复数为24，随后按6与7的最小公倍数42递进，剩余 $76\div 42 = 1$，所以只有两个重复标识的数（24、66）。因此被标识的书共有 $16 + 14 - 2 = 28$ 本，未被标识的为 $100 - 28 = 72$ 本，选择C选项。

例 某公司举办迎新晚会，参加者每人都领取一个按入场顺序编号的号牌，晚会结束时宣布：从1号开始向后每隔6个号的号码可获得纪念品A，从最后一个号码开始向前每隔8个号的号码可获得纪念品B。最后发现没有人同时获得纪念品A和B，则参加迎新晚会的人数最多有：

A.46人 B.48人 C.52人 D.54人

解析 假设人数范围从无限长序列中截取，获得A的周期 $= 6 + 1 = 7$ ，获得B的周期 $= 8 + 1 = 9$ ，则无限长序列中同时获得A、B周期 $= 7\times 9 = 63$ ，现人数范围内不能包含同时获得A、B的情况，则人数 $\leq 62$ 。人数范围还需满足另一个条件，第一个人获得A，最后一个人获得B，所以人数最多取不到62（首尾不是A也不是B），最多有 $62 - 6 - 8 = 48$ 人（减掉首端A之前的部分，末端B之后的部分），所以选择B选项。

注：隔a人、隔b人，则最多人数 $= (a + 1)(b + 1) - 1 - a - b = a\times b$ 人，能使得不存在同时获得a、b的人。

真题串讲

（2021新疆）已知2021年7月1日星期四，那么2021年12月10日是星期几？

A 星期二 B 星期三 C 星期四 D 星期五

选 D：星期五。

速算：从 7 月 1 日（周四）推到 12 月 10 日。 各月“1 号”递推（每月平移天数为该月天数 mod 7）：

• 7/1 周四
• 8/1：7 月 31 天 ⇒ 平移 +3 ⇒ 周日
• 9/1：8 月 31 天 ⇒ +3 ⇒ 周三
• 10/1：9 月 30 天 ⇒ +2 ⇒ 周五
• 11/1：10 月 31 天 ⇒ +3 ⇒ 周一
• 12/1：11 月 30 天 ⇒ +2 ⇒ 周三

则 12/10 是在 12/1 基础上再加 9 天：$9 \equiv 2 \pmod{7}$，周三再往后两天 ⇒ 周五。

(2015江苏B)某年的3月有5个星期一和4个星期二，则该年的国庆节是（）。

A 星期二 B 星期三 C 星期四 D 星期五

选 B：星期三。

简明推理：

1. 31 天的月份中，出现 5 次的是该月起始的连续 3 个星期。3 月“有 5 个星期一而 4 个星期二”，说明星期一在前三个里而星期二不在（3 月的最后一天为星期一，否则就会有 5 个星期二） ⇒ 前三个应为六、日、一 ⇒ 3 月 1 日是星期六。

2. 逐月平移到 10 月 1 日（31→+3，30→+2）：

• 3/1 六
• 4/1 二（+3）
• 5/1 四（+2）
• 6/1 日（+3）
• 7/1 二（+2）
• 8/1 五（+3）
• 9/1 一（+3）
• 10/1 三（+2）

故该年国庆节（10 月 1 日）为星期三。

（2021广东县级）7月的某一天，小张制定了一个读书计划：从今天开始，在每周的周一至周五晚上读党史系列丛书。如果小张每晚读20页，到7月28日刚好能读完第一卷，如果每天读30页，则到7月20日刚好能读完第一卷。如果7月1日是星期三，则小张是在7月（）日制定的读书计划。

A 2 B 3 C 5 D 7 B

选 B：3 日。

推理：

1. 设从开始到 7/28 的读书晚数为 $n_{28}$，到 7/20 为 $n_{20}$。页数相同：$20n_{28}=30n_{20}\Rightarrow n_{28}:n_{20}=3:2$。差值 $k=n_{28}-n_{20}$。
2. 由题给：7/1 为周三，则 7/21–7/28 的工作日为：21(二)、22(三)、23(四)、24(五)、27(一)、28(二)，共 6 晚。 因此 $k=6$，得 $n_{20}=2k=12$（到 7/20 一共读 12 晚）。
3. 数 7 月 1–20 的工作日共有 14 个（1、2、3、6–10、13–17、20）。要使从“开始日”到 7/20 恰好 12 晚，需跳过最前面的 2 个（1、2 日），于是从 7 月 3 日（周五） 开始读刚好满足： 3、6–10、13–17、20 共 12 晚。

故制定计划日为 7 月 3 日。

（2017河南）小张每周一到周五都要去健身房锻炼。某年小张每个季度去健身房锻炼的天数相同，问当年的国庆节是星期几？

A 星期一 B 星期五 C 星期六 D 星期日

选 D：星期日。

思路要点（简明）：

• 各季度天数：Q1=90/91，Q2=91，Q3=92，Q4=92。

• 每 7 天含 5 个工作日（周一至周五）。因此：

  • Q2=91=13×7 ⇒ 必有 65 个工作日（与起始星期无关）。

  • Q3=92=13×7+1 ⇒ 工作日数为 65 或 66，取决于该季度首日是不是工作日；要想与 Q2 相同（=65），则 Q3 的首日必须是周六或周日。

  • Q4 同理，要想=65，Q4 的首日也必须是周六或周日。

  • Q1：

    • 若平年（90=12×7+6），要想=65，则前 6 天中恰好 5 天是工作日 ⇒ 元旦必须是周日/周一/周二。
    • 若闰年（91=13×7），天然=65（不受起始星期影响）。

• 星期推进关系（记元旦=Jan1）：

  • 平年：Apr1=Jan1−1，Jul1=Jan1−1，Oct1=Jan1。
  • 闰年：Apr1=Jan1，Jul1=Jan1，Oct1=Jan1+1。

• 令 Q3、Q4 的首日都为周末：

  • 平年：Jul1=Jan1−1 为周末，且 Oct1=Jan1 也为周末 ⇒ Jan1 只能是周日。于是 Oct1=周日。
  • 闰年：Jul1=Jan1 为周末，且 Oct1=Jan1+1 也为周末 ⇒ Jan1 必须是周六，于是 Oct1=周日。

两种可能都推出：国庆节（10 月 1 日）是星期日。

（2025行政执法）小张每周一到周四夜跑，周五到周日休息，已知某年2月他夜跑17次，3月夜跑19次，问4月他夜跑多少次？

A 16 B 17 C 18 D 19

选 A：16。

推理（精炼）：

1. 夜跑日为周一至周四。
2. 2 月夜跑 17 次：若 2 月 28 天，不论起始星期都恰好 $4\times4=16$ 次；但题给是 17 ⇒ 该年为闰年（29 天），且 2/1 必为周一至周四（多出的 1 天必须是夜跑日）。
3. 闰年 $29\equiv1\pmod7$，故 3/1 的星期 = 2/1 的下一天。 3 月 31 天：夜跑次数 $=4\times4+ \text{(前 3 天中的夜跑日数)}$。题给 19 ⇒ 前 3 天全是夜跑日 ⇒ 3/1 只能是周一或周二。 结合“3/1=2/1+1”，且 2/1 为周一至周四，仅 2/1=周一 时有 3/1=周二（满足）。
4. 3 月 31 天使 4/1 = 3/1 往后 3 天 = 周五。 4 月 30 天：夜跑次数 $=4\times4 + \text{(前 2 天中的夜跑日数)}$。前两天为 周五、周六，均非夜跑日 ⇒ 额外 0。

故 4 月共 $16$ 次。

（2022河北）两个信号灯分别以30秒和36秒的固定间隔闪亮一次，若他们10点第一次同时闪亮，则第七次同时闪亮的时间为。

A 10: 15 B 10: 16 C 10: 18 D 10: 21

选 C：10:18

**速算：**两灯同步的周期是 $\mathrm{lcm}(30,36)=180$ 秒（=3 分钟）。 从 10:00 第一次同步起，第 $n$ 次同步在 $10{:}00+(n-1)\times3$ 分钟。 第 7 次：$(7-1)\times3=18$ 分钟 ⇒ 10:18。

(2021江苏C)某公司举办迎新晚会，参加者每人都领取一个按入场顺序编号的号牌，晚会结束时宣布： 从1号开始向后每隔6个号的号码可获得纪念品A，从最后一个号码开始向前每隔8个号的号码可获得纪念品B.最后发现没有人同时获得纪念品A和B，则参加迎新晚会的人数最多有：

A 46人 B 48人 C 52人 D 54人

解题步骤如下：

1. 分析纪念品A的获奖号码规律： “从1号开始向后每隔6个号”意味着获奖号码之间的差是7。 所以，获得纪念品A的号码是一个首项为1，公差为7的等差数列： $A_n = 1 + 7(n-1)$ 获奖号码为：1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, ...

2. 分析纪念品B的获奖号码规律： “从最后一个号码开始向前每隔8个号”意味着获奖号码之间的差是9。 设晚会总人数为N，则最后一个号码是N。 所以，获得纪念品B的号码是一个末项为N，从后往前看公差为9的等差数列： 获奖号码为：N, N-9, N-18, N-27, ...

3. 应用核心条件：“没有人同时获得纪念品A和B” 这意味着，获得A的号码集合与获得B的号码集合没有交集。

4. 使用排除法检验选项（从最大值开始）： 题目要求“人数最多有”，所以我们应该从最大的选项开始代入验证。

   • D. 假设总人数 N = 54

     • 获得A的号码：1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50
     • 获得B的号码：54, 45, 36, 27, 18, 9
     • 结果：号码 36 同时获得了两种纪念品，与条件不符。所以人数不能是54。

   • C. 假设总人数 N = 52

     • 获得A的号码：1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50
     • 获得B的号码：52, 43, 34, 25, 16, 7
     • 结果：号码 43 同时获得了两种纪念品，与条件不符。所以人数不能是52。

   • B. 假设总人数 N = 48

     • 获得A的号码：1, 8, 15, 22, 29, 36, 43
     • 获得B的号码：48, 39, 30, 21, 12, 3
     • 结果：两个获奖号码集合没有共同的号码，符合条件。

既然我们是从大到小检验，并且48是第一个符合条件的选项，那么48就是可能的最大人数。

因此，参加迎新晚会的人数最多有48人。

正确答案是 B。

（2014联考）工厂需要加工一批零件，甲单干工作需要96个小时完成，乙需要90个小时、丙需要80个小时。现在按照第一天甲乙合作，第二天甲丙合作，第三天乙丙合作的顺序轮班工作，每天工作8小时，当全部零件完成时，甲工作了多少小时：

A 16 B 24 C 44 D 32

D．32

设总工作量为 1。工作效率（每小时）： 甲 $1/96$，乙 $1/90$，丙 $1/80$。

每 3 天为一轮，每天 8 小时：

• 第1天（甲+乙）：$8\!\times\!(1/96+1/90)=\frac{31}{180}$
• 第2天（甲+丙）：$8\!\times\!(1/96+1/80)=\frac{11}{60}$
• 第3天（乙+丙）：$8\!\times\!(1/90+1/80)=\frac{17}{90}$

一轮完成量：$\frac{31}{180}+\frac{11}{60}+\frac{17}{90}=\frac{49}{90}$。 3 天后剩余：$1-\frac{49}{90}=\frac{41}{90}$。

第4天（甲+乙）后剩：$\frac{41}{90}-\frac{31}{180}=\frac{17}{60}$。 第5天（甲+丙）后剩：$\frac{17}{60}-\frac{11}{60}=\frac{1}{10}$。

第6天（乙+丙）完成，用时 $\frac{1/10}{1/90+1/80}=\frac{1/10}{17/720}=\frac{72}{17}\approx4.24$ 小时（在当天内完成，且甲未上岗）。

甲只在第1、2、4、5天上班，共 $4\times8=32$ 小时。

（2019新疆）一批药品需要检测，若第一天由甲检测，第二天由乙检测，按此方式交替完成的天数为整数。若第一天由乙检测，第二天由甲检测，按此轮替，那么在按前者轮流方式完工的天数后，还有56个药品未检测。已知甲、乙工作效率之比为9:5。问甲每天检测多少个药品？（）

A 72 B 99 C 112 D 126

D．126

设甲、乙日效率分别为 $9x, 5x$。

按“甲—乙—甲—乙…”顺序，若正好在第 $N$ 天（整数天）完工：

• 若 $N$ 为偶数，则前后两种起始顺序在 $N$ 天内完成量相同，不会出现剩余 56 的差异，故 $N$ 必为奇数。

• 令 $N=2k+1$。

  • 甲先：完成量 $=k(9x+5x)+9x=(14k+9)x$（已完工）。
  • 乙先：完成量 $=k(9x+5x)+5x=(14k+5)x$。

两种顺序在 $N$ 天的完成量之差为剩余： $(14k+9)x-(14k+5)x=4x=56 \Rightarrow x=14$。

故甲每日检测量 $=9x=9\times14=126$。

（2019辽宁）在一块草场上老李养了若干头牛和若干只羊。如果只有羊吃草，够吃16天；如果第一天牛吃，第二天羊吃，这样交替，正好整数天吃完；如果第一天羊吃，第二天牛吃，这样交替，那么比上次轮流的做法多吃半天；牛单独吃能够吃多少天。

A 8 B 7 C 6 D 5

显然最后一天的草对于牛来说够吃半天，对于羊来说够吃一天，则牛和羊的效率比为 2:1，所以时间比为 1:2，故答案选择 A