第四章工程问题

一、基本方程运算

核心公式

工程量 = 效率 × 时间

例题1：基础工程问题

题目：甲乙两个工程队共同修建一段长为2100千米的公路，甲队每天比乙队少修50千米，甲队先单独修3天，余下的路程与乙队合修6天完成，则乙队每天所修公路的长度是：

A. 135千米
B. 140千米
C. 160千米
D. 170千米

解析：

假设甲每天可以修a千米，则乙每天修 a + 50 千米

根据题意可知： $3a + 6 \times (a + a + 50) = 2100$

即 $15a + 300 = 2100$

解得 a = 120

所以 a + 50 = 170

答案：D

二、比例关系

原理1：工作时间相同，完成量与效率成正比

例题2：效率比例问题

题目：甲、乙、丙三个植树队同时各种400棵树，当甲队把400棵树全部种完时，乙队还有150棵树没种，丙队才种了220棵树。当乙队全部种完时，丙队还有多少棵树没种？

A. 48
B. 52
C. 66
D. 74

解析：

甲完成400棵树，乙完成 $400 - 150 = 250$ 棵，丙完成220棵树

所以乙丙效率比为 250 : 220 = 25 : 22

当乙完成400棵树时，乙完成量看作25份，则乙丙完成量比例差 = 3份 = $400 \times \frac{3}{25} = 48$ 棵

所以丙还有48棵没种。

答案：A

方程法 先设三队的种树速率分别为 $a$ , $b$ , $c$ （棵/时间单位）。

1. 用甲队的完工时刻求速率比例

甲队完成 400 棵所用时间

t_1=\frac{400}{a}

此时乙队种了 250 棵，丙队种了 200 棵：

b\;t_1 = 250 \quad\Rightarrow\quad b\Bigl(\frac{400}{a}\Bigr)=250

c\;t_1 = 220 \quad\Rightarrow\quad c\Bigl(\frac{400}{a}\Bigr)=220

得到比例

\frac{b}{a}=\frac{250}{400}=\frac{5}{8},\qquad \frac{c}{a}=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}

2. 求乙队完工时丙队已种树数

乙队完成 400 棵所用时间

t_2=\frac{400}{b}

丙队此时已种：

c\,t_2=c\Bigl(\frac{400}{b}\Bigr)

代入速率比例：

\frac{c}{b}= \frac{\frac{c}{a}}{\frac{b}{a}}= \frac{\frac{11}{20}}{\frac{5}{8}} =\frac{11}{20}\times\frac{8}{5} =\frac{88}{100} =\frac{22}{25}

于是

c\,t_2 = \frac{22}{25}\times 400 = 352 \text{ 棵}

3. 计算丙队剩余未种的树数

丙队总任务为 400 棵，因此剩余数为

400-352 = 48 \text{ 棵}

原理2：工程量不变，效率与用时成反比

例题3：效率与时间反比

题目：一项工程，若交给A队施工，需要20天，若交给B队，需要30天，如果交给他们两队一起施工，需要多少天完成？

A. 10
B. 11
C. 12
D. 15

解析：

A队B队在工程总量相同的情况下，时间比为2：3

所以他们的效率比为时间比的反比3：2

设A队效率为3，B队效率为2，则工程总量 = $20 \times 3 = 60$

所以如果他们一起施工，总效率 = $3 + 2 = 5$

此时用时 = $60 \div 5 = 12$ 天

答案：C

快速解法 设工程总量为60份（20 和 30的最小公倍数） A队效率为3，B队效率为2，一起合作需要 $60 / (3+2) = 12$ 天

例题4：效率变化问题

题目：一个车间需要生产模具256个，每小时生产32个可按时完成，但是生产期间机器发生了故障，修理了1.5个小时，后来只能加派人手使得每小时生产的模具提高到48个，这样恰好按时完成任务。机器在生产了（）个零件后发生了故障。

A. 112
B. 108
C. 96
D. 72

解析：

前后效率比为 32 : 48 = 2 : 3

所以提升效率部分工作量前后时间比为 3 : 2

比例差1份 = 1.5小时，所以提升效率前这部分用时应当为 $3 \times 1.5 = 4.5$ 小时

即 $4.5 \times 32 = 144$ 个零件是提升效率后生产的

所以故障时已经生产 $256 - 144 = 112$ 个零件

答案：A

方程法 解题思路

设定变量
- 故障前正常生产 $t$ 小时，速度 $32\ \text{个/时}$ 。
- 机器修理 $1.5$ 小时，期间产量为 $0$ 。
- 修好后剩余时间 $t_2$ 小时，加派人手后速度 $48\ \text{个/时}$ 。
- 总计划工期为 $\displaystyle \frac{256}{32}=8$ 小时（题目已暗示“按时完成”）。
时间方程

t + 1.5 + t_2 = 8 \quad\Longrightarrow\quad t_2 = 6.5 - t

产量方程

32t + 48t_2 = 256

把 $t_2$ 代入：

32t + 48(6.5 - t) = 256

32t + 312 - 48t = 256

-16t = -56 \quad\Longrightarrow\quad t = 3.5

计算故障前产量

32 \times 3.5 = 112

答案

机器在生产了 112 个零件后发生了故障。

三、牛吃草问题

核心原理

初始量 = 净消耗量 × 时间

牛吃草问题一般初始量恒定，则净消耗量与时间成反比关系。

数学模型

记号	含义
$G$	初始可食牧草量（以“头·天”为单位，即一头牛一天的草量）
$R$	草地每日再生量（同样以“头·天/天”为单位）
$N$	牛的头数
$T$	能维持的天数

基本平衡方程（草刚好吃完时）：
$G \;+\; R\,T \;=\; N\,T$

例题5：经典牛吃草问题

题目【模版题】：有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

解析：

假设牛吃草效率为1，草生长的效率 = a

牧场草的存量（工程量）固定，时间比为 20 : 10 = 2 : 1

所以总效率比为 1 : 2

所以 $(10 - a) : (15 - a) = 1 : 2$

根据比例差可知 1份 = 5，则 10 - a = 5，解得 a = 5

所以草量 = $(10 - 5) \times 20 = 100$

25头牛时净效率 = 25 - 5 = 20，用时 = $100 \div 20 = 5$ 天

答案：C

方程法 1 . 根据已知条件列方程

10 头牛能吃 20 天

G + 20R = 10 \times 20 = 200 \tag{①}

15 头牛能吃 10 天

G + 10R = 15 \times 10 = 150 \tag{②}

2 . 解出 $G$ 与 $R$

两式相减（① − ②）：

(G + 20R) - (G + 10R) = 200 - 150

10R = 50 \;\;\Longrightarrow\;\; R = 5

再代回②：

G + 10 \times 5 = 150 \;\;\Longrightarrow\;\; G = 100

初始草量 $G = 100$ ，每日再生量 $R = 5$ 。

3 . 求 25 头牛能吃多少天

设所求天数为 $T$ ，代入平衡方程：

100 + 5T = 25T

100 = 20T \quad\Longrightarrow\quad T = 5

这块牧场可供 25 头牛吃 5 天。

例题6：检票口问题

题目【较难】：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每个检票口每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

A. 9
B. 12
C. 15
D. 18

解析：

假设检票口效率为1，来人的效率为a

开始检票时存量固定，时间比为 3 : 2，所以效率比 (4 - a) : (5 - a) = 2 : 3

根据比例差可知 a = 2，存量 = $(4 - 2) \times 30 = 60$

7个检票口时，总效率 = 7 - 2 = 5，所以需要 $60 \div 5 = 12$ 分钟

答案：B

方程法（使用牛吃草公式）

牧场问题	检票排队问题
初始草量 $G$	初始排队人数 $Q_0$
草地每日再生量 $R$	旅客到达速率 $r$ (人/分)
牛吃草速率 $N$ 头牛	检票速率 $k\mu$ (人/分， $k$ 条通道)
维持 $T$ 天的平衡方程 $G+RT=N T$	队伍消失的平衡方程 $Q_0 + rT = k\mu T$

建立平衡方程

设

- $\mu$ ：单个检票口检票速率（人/分） - $t_0$ ：开检前已排队的时间（分） $\Rightarrow Q_0 = r t_0$ - $T_k$ ：开 $k$ 个检票口时，队伍全部清空所用时间（分）

队伍消失条件

\underbrace{r t_0}_{\text{初始队伍}} \;+\; \underbrace{r T_k}_{\text{排队期间新到旅客}} =\underbrace{k\mu T_k}_{\text{检票放行人数}} \quad\Longrightarrow\quad r(t_0+T_k)=k\mu T_k

利用已知数据求 $r,\,\mu,\,t_0$

同期开口数	消失时间 $T_k$	方程 $r(t_0+T_k)=k\mu T_k$
$k=4$	$T_4=30$	$r(t_0+30)=4\mu\cdot30=120\mu$
$k=5$	$T_5=20$	$r(t_0+20)=5\mu\cdot20=100\mu$

令 $x=\dfrac{r}{\mu}$ （到达速率与单口检票速率之比）两式同除以 $\mu$ ：

\begin{cases} x(t_0+30)=120\\ x(t_0+20)=100 \end{cases}

相减得 $x\cdot10=20\Rightarrow x=2$ 。再代回第二式得 $2(t_0+20)=100\Rightarrow t_0=30$ 。

结论

旅客提前 $t_0=30$ 分钟开始排队。

到达速率是单口检票速率的两倍： $r=2\mu$ 。

求开 7 个检票口所需时间

将 $k=7,\; x=2,\; t_0=30$ 代入 (★)：

2\,\mu(30+T_7)=7\,\mu\,T_7 \;\;\Longrightarrow\;\; 7T_7 = 60 + 2T_7 \;\;\Longrightarrow\;\; 5T_7 = 60 \;\;\Longrightarrow\;\; \boxed{T_7 = 12\text{ 分}}

若同时开启 7 个检票口，需要 12 分钟队伍才能全部消失。

——整个过程完全对应“牛吃草”模型：

初始队伍 ↔ 初始草量
旅客到达 ↔ 草地再生
检票放行 ↔ 牛吃草

令 $\mu = 1$ 可以加速计算

四、优势比较问题

例题7：工匠优势比较

题目【较难】：工匠师傅甲擅长制作工艺品A，师傅乙擅长制作工艺品B，当有制作A任务时甲只制作A，有制作B任务时乙只制作B。两人8周可以制作一车工艺品A，如由乙单独完成则需40周。两人60天可制作一车工艺品B，如由甲单独完成则需30周，现需要制作A、B各占一半的一车工艺品，问两位师傅共同完成需要多少天？

A. 40
B. 45
C. 50
D. 55

解析：

方程法

1. 明确速率与工作量的关系

设：
- 甲制作A的速率为 $A_1$ （单位/天），制作B的速率为 $B_1$ （单位/天）；
- 乙制作A的速率为 $A_2$ （单位/天），制作B的速率为 $B_2$ （单位/天）。
1车工艺品的工作量：
- 1车A的总量 = 乙单独制作40周的工作量 = $40 \times 7 \times A_2 = 280A_2$ （单位）；
- 1车B的总量 = 甲单独制作30周的工作量 = $30 \times 7 \times B_1 = 210B_1$ （单位）。

2. 根据合作条件列方程

制作1车A的合作条件：甲、乙合作8周（56天）完成，因此：
合作工作量 = 1车A总量 → $56(A_1 + A_2) = 280A_2$ ，
化简： $A_1 + A_2 = 5A_2$ → $A_1 = 4A_2$ 。
制作1车B的合作条件：甲、乙合作60天完成，因此：
合作工作量 = 1车B总量 → $60(B_1 + B_2) = 210B_1$ ，
化简： $2(B_1 + B_2) = 7B_1$ → $2B_2 = 5B_1$ → $B_2 = \frac{5}{2}B_1$ 。

3. 代入假设值确定具体速率

假设 $A_2 = 1$ $A_{2} = 1$ （乙每天做1单位A）， $B_1 = 1$ $B_{1} = 1$ （甲每天做1单位B），则：
- 甲的A速率： $A_1 = 4A_2 = 4 \times 1 = 4$ （单位/天）；
- 乙的B速率： $B_2 = \frac{5}{2}B_1 = \frac{5}{2} \times 1 = 2.5$ （单位/天）。

4. 计算A、B产品的总量

1车A的总量： $280A_2 = 280 \times 1 = 280$ （单位）；
1车B的总量： $210B_1 = 210 \times 1 = 210$ （单位）。

5. 任务需求与总时间计算

需制作“A、B各占一半的一车工艺品”，即：
- A的任务量： $280 \div 2 = 140$ （单位）；
- B的任务量： $210 \div 2 = 105$ （单位）。
分工与时间：
1. 甲专注做A，需时： $140 \div A_1 = 140 \div 4 = 35$ （天）；
2. 乙在35天内做B的量： $35 \times B_2 = 35 \times 2.5 = 87.5$ （单位）；
3. B剩余量： $105 - 87.5 = 17.5$ （单位），由甲、乙合作完成，合作速率为 $B_1 + B_2 = 1 + 2.5 = 3.5$ （单位/天），需时： $17.5 \div 3.5 = 5$ （天）。
总时间： $35 + 5 = 40$ （天）。

结论：两位师傅共同完成任务需要 40天。

提示：可以计算得到乙做一半需要 42 天的时候快速得到所需时间必定小于 42（因为甲可以帮助乙）而锁定答案 40，避免下一步计算

经济利润行程问题

第四章 工程问题