抽屉原理（鸽巢原理）

符号与记号说明

向上取整： $\lceil x \rceil$ $⌈ x ⌉$ ，表示“不小于 $x$ $x$ 的最小整数”。
- 例： $\lceil 3.01 \rceil=4$ ， $\lceil 5 \rceil=5$ 。
向下取整： $\lfloor x \rfloor$ $⌊ x ⌋$ ，表示“不大于 $x$ $x$ 的最大整数”。
- 例： $\lfloor 3.99 \rfloor=3$ ， $\lfloor 5 \rfloor=5$ 。
不等号： $\ge$ 表示“至少/不小于”， $\le$ 表示“至多/不大于”， $>$ “大于”， $<$ “小于”。
范围写法： $1\sim 100$ 表示从 $1$ 到 $100$ 的整数，含端点。
同余与余数： $a \equiv b\pmod n$ 表示 $a$ 与 $b$ 除以 $n$ 后余数相同； $a\bmod n$ 表示 $a$ 被 $n$ 除的余数。
集合符号： $\{\,\}$ 表示一个集合，如 $\{0,1,2,3,4\}$ 。
文中常量含义： $N$ $N$ （对象总数）、 $k$ $k$ （抽屉数/分类数）、 $m$ $m$ （门槛值/目标人数）、 $N_{\min}$ $N_{m i n}$ （保证出现所需的最小总数）。
- 常见公式： $\left\lceil \dfrac{N}{k} \right\rceil$ （第一抽屉原理的“至少”下界）， $N_{\min}=k(m-1)+1$ （第二抽屉原理的“保证”门槛）。

抽屉原理是数量关系与组合计数中的基础工具，常用于“必有”“保证”“至少/至多”等结论的证明与估计。

文字表述：把 $N$ 个对象放入 $k$ 个抽屉中，必有一个抽屉中至少有 $\left\lceil \dfrac{N}{k} \right\rceil$ 个对象。
常用等价说法：若希望“每个抽屉至多 $t$ 个”，则总数 不超过 $k\cdot t$ 。
公式：

$\max\{\text{每个抽屉内元素数}\}\ \ge\ \left\lceil \dfrac{N}{k} \right\rceil$

餐厅分桌：一共来 $N$ 位客人，只有 $k$ 张桌子，即使尽量平均分，也必然有一张桌子至少坐 $\left\lceil \tfrac{N}{k} \right\rceil$ 人。
校园快递格： $N$ 个快递投到 $k$ 个智能柜格口里，至少有一个格口堆了 $\left\lceil \tfrac{N}{k} \right\rceil$ 个包裹（同格内临时堆放）。
班级小组讨论：全班 $N$ 人被分到 $k$ 个小组，必有一组至少 $\left\lceil \tfrac{N}{k} \right\rceil$ 人。

说明：第二抽屉原理本质是第一原理的阈值化应用，常以“极端分配”思想（先把每个抽屉塞到上限 $m-1$ ）来快速估算“保证出现”的最小数量。

月份生日“至少 m 人同月”：要保证至少 $m$ 人同在一个月份出生，最少需要 $12(m-1)+1$ 人。比如“至少 3 人同月”， $N_{\min}=12\times2+1=25$ 。
作业提交高峰：一周 $k=7$ 天内分散提交，想保证某一天至少有 $m$ 份作业被提交，最少需要 $7(m-1)+1$ 份提交记录。
共享单车停放点：有 $k$ 个停车点，若想保证某点至少聚集 $m$ 辆，路面上最少需 $k(m-1)+1$ 辆车。

关键：先“定抽屉”，再“数对象”，最后代入公式求“至少/门槛/保证”。

在一群人中，至少要有多少人才能保证出现同一天生日（按 366 个生日日期计，含 2 月 29 日）？

从 $1\sim 100$ 的整数中任取 $51$ 个，证明其中必有两数是相邻的连续整数。

任取 $6$ 个整数，证明其中必有两数被 $5$ 除余数相同。

要保证至少有 4 个人在同一个月份出生，最少需要多少人？

一个抽屉里有黑、白、灰三色袜子若干。要保证至少抽出 5 只同色袜子，最少需要拿出多少只？（假设每色数量都足够多）

把边长为 $2$ 的正方形划分为 $4$ 个边长为 $1$ 的小正方形。若在大正方形内任取 $5$ 个点，证明必有两个点落在同一个小正方形内。