第八章 最值问题

一、抽屉原理（最不利问题）

基本原理：

① 把至少 $n+1$ 个物品放到 $n$ 个抽屉里，至少有1个抽屉里的东西不少于2个；

② 把至少 $m \times n + 1$ 个物品放到 $n$ 个抽屉里，至少有1个抽屉里的东西不少于 $m+1$ 个；

原理解释：

抽屉原理是最不利思想的体现，结论①里的"至少"便是把前面的数据想到最差的情况。何为最差，是想要让有抽屉里的东西可以达到2个，但情况最差，最差到每个抽屉都只放了1个，就是到达不到2个，那么 $n$ 个抽屉最不利也只能放 $n$ 个东西，一旦有 $n+1$ 个东西，就必然突破了刚刚的最差的情况，就会起码有抽屉满足物品数目 $\geqslant 2$ 的条件了。

例题1【模版题】： 有6种颜色的小球，数量分别为4，6，8，9，11，10，将它们放在一个盒子里，那么，拿到相同颜色的球最多需要的次数为：

A. 6
B. 12
C. 11
D. 7

解析： 目标是拿到相同颜色的球，即拿到2个颜色一样的球。所以考虑最不利情况，每种颜色都只能拿到1个，一共可以拿6次，每种颜色拿一遍，这就是最不利的情况了。而后再拿1个就必然会拿到相同颜色的球，所以最多需要 $6 + 1 = 7$ 次。

答案： D

例题2： 将若干男生任意分成4组，总会至少有一组的男生多于2人，那么男生至少有几人？

A. 5
B. 8
C. 9
D. 13

解析： 多于2人 $=$ 不少于3人，4组即4个抽屉，所以 $2 \times 4 + 1$ 个即9个男生分成4组会至少有1组的男生不少于3个。

答案： C

例题3【模版题】： 某中学一年级的学生身高（按整数厘米计算），最矮的是148厘米，最高的是170厘米。如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人才能保证有5人的身高相同？

A. 89
B. 92
C. 93
D. 97

解析： 148厘米至170厘米存在 $170 - 148 + 1 = 23$ 个身高组，所以至少需要 $(5 - 1) \times 23 + 1 = 93$ 人，才能保证有5人身高相同。

答案： C

例题4【模版题】： 现有29份待整理文件，部门经理将待整理的文件分给员工，如果其中至少有一人分到至少4份文件，那么这个部门最多有多少名员工？

• A. 9
• B. 8
• C. 7
• D. 6

解析： 假设这个部门最多有 $x$ 名员工，则根据抽屉原理"把至少 $m \times n + 1$ 个物品放到 $n$ 个抽屉里，至少有1个抽屉里的东西不少于 $m + 1$ 个"，有 $29 \geqslant (4 - 1) \times x + 1 = 3x + 1$，所以 $3x \leqslant 28$，则 $x$ 至多为9。

答案： A

例题5： 有6种颜色的小球，数量分别为4，6，8，9，11，10，将它们放在一个盒子里，那么，拿到6个相同颜色的球最多需要的次数为：

• A. 6
• B. 29
• C. 30
• D. 31

解析： 目标是拿到6个颜色一样的球。所以考虑最不利情况，每种颜色都只能拿到6个以下最多5个，这就是最不利的情况了。而后再拿1个就必然会拿到相同颜色的球。而6种颜色中有1种只有4个，剩下5种可以拿5个，所以最多需要 $4 + 5 \times 5 + 1 = 30$ 次。

答案： C

二、构造数列问题

例题1【模版题】： 5个人平均年龄为29，且没有小于24岁的，那么年龄最大的人至多为多少岁？

A. 46
B. 48
C. 50
D. 49

解析： 要让最大的人尽量大，总量一定那我们让其他人尽量小，其他人年龄最少为24岁，所以年龄最大的人至多是 $29 \times 5 - 24 \times 4 = 145 - 96 = 49$ 岁。

答案： D

例题2【模版题】： 5名学生参加某学科竞赛，共得91分，已知每人得分各不相同且均为整数，且最高是21分，则最低分最低为：

• A. 14
• B. 16
• C. 13
• D. 15

解析： 让最低分最低则其他人尽量高，分别是21、20、19、18分，共计 $21 + 20 + 19 + 18 = 78$ 分，此时最低分为 $91 - 78 = 13$ 分。

答案： C

例题3： 有41块蛋糕分给7人，若每个人分得的蛋糕数各不相同，且分得蛋糕数最多的人不超过9块，则分得蛋糕数最少分得多少块蛋糕？

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

解析： 让最少者尽量少，总量一定，则其他人尽量多即可。其他6人至多可以有 $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$ 块蛋糕，所以最少者最少分到 $41 - 39 = 2$ 块蛋糕。

答案： B

前后关联型

例题【较难】： 将75人分为3队，其中人数最多的队的人数是人数最少的队的2.5倍。问人数第2多的队最少有多少人？

• A. 19
• B. 21
• C. 25
• D. 33

解析方法一： 假设人数最多和最少的队人数分别为 $5a$、$2a$，则人数第2多的队最低为 $2a + 1$，所以 $5a + 2a + 2a + 1 = 75$，解得 $a = 8.22$，则 $2a + 1 = 17.444$，由于 $2a + 1$ 必然为奇数，所以 $2a + 1$ 至少只能取到19，取不到17。

解析方法二： 假设人数最多和最少的队人数分别为 $5a$、$2a$，则人数第2多的队最低为 $2a + n$，所以 $5a + 2a + 2a + n = 75$，即 $9a = 75 - n$，要让第2多的队人数尽量少，则最多的和最少的队人数要尽量多，即 $a$ 要尽量大。而由于 $a$ 为整数，所以 $75 - n$ 是9的倍数，所以 $9a$ 最大值为72，此时 $a = 8$，$n = 3$，则 $2a + n = 16 + 3 = 19$。

说明： 解析二与解析一的不同点在于假设"关键先生"第二队时多引入了一个未知数 $n$，这样可以满足三个队都是整数解、更快地符合题意。

答案： A

详细思路：

1. 设三队人数分别为 $x$ （最少）、$y$（第二多）、$z$（最多）。

2. 由题意 $z = 2.5x$，且总人数为

   $$x + y + z = 75\;\;\Longrightarrow\;\;x + y + 2.5x = 75 \;\;\Longrightarrow\;\;y = 75 - 3.5x.$$

3. 由于 $x,y,z$ 都为整数，且满足

   $$x \le y \le z = 2.5x,$$

   我们对 $x$ 取值进行枚举：

   • $x\ge1$ 且 $2.5x \ge y = 75-3.5x$ ⇒ $6x\ge75$ ⇒ $x\ge12.5$；
   • 同时 $x \le y$ ⇒ $x \le 75-3.5x$ ⇒ $4.5x\le75$ ⇒ $x\le16.66$。 因此 $x$ 可能的整数值为 13, 14, 15, 16。

4. 验证各候选：

   • $x=13$：$y=75-3.5\cdot13=29.5$（非整数，舍去）
   • $x=14$：$y=75-49=26$，$z=2.5\cdot14=35$\；符合 $14\le26\le35$。
   • $x=15$：$y=75-52.5=22.5$（非整数，舍去）
   • $x=16$：$y=75-56=19$，$z=40$\；符合 $16\le19\le40$。

5. 因此所有合法分配中，第二多的队最少人数为 $\min\{26,19\}=19$。

答：19 人（选项 A）。

三、其他最值问题

1. 用未知数表示出讨论对象的值，观察取值范围

例题1： 某商店决定改变销售策略，将球衣打九折出售，结果销售数量比原来增加了50件，但是销售收入减少了200元，则原来的销售数量至少有多少件？

A. 301
B. 351
C. 401
D. 451

解析： 假设原来售价 $x$，销售量 $y$，则根据题意可以得到 $xy - 0.9x(y + 50) = 200$，即 $0.1xy - 45x = 200$，$0.1xy = 200 + 45x$，$y = 450 + \frac{2000}{x}$，因为 $x > 0$，所以 $y = 450 + \frac{2000}{x} > 450$，又因为 $y$ 是整数，所以 $y$ 至少为451。

答案： D

设原来单价为 $p$（元/件），原来销售数量为 $n$（件），则：

• 原来收入：$R_{\rm 原}=n p.$
• 打九折后单价为 $0.9p$，销售数量变为 $n+50$，新收入：$R_{\rm 新}=0.9p\,(n+50).$

题意“销售收入减少了200元”，即

两边同除以 $p$（假设 $p>0$ 且为整数），得

因为 $n$ 为整数，$\frac{2000}{p}$ 也必须为整数，即 $p$ 是 2000 的一个正整数因子。要使 $n$ 最小，就要使 $\frac{2000}{p}$ 最小，也即 $p$ 尽可能大。2000 的最大因子是 2000 本身，此时

故原来的销售数量至少是 451 件。

答：451 件（选 D）。

2. 一元二次函数型最小值

例题2【较难】： 希望中学为三个特困学生发放课外读本。甲发到的读本数与乙发到的读本数的2倍之和比丙发到的读本数多6本；甲发到的读本数与丙发到的读本数的2倍之和比乙发到的读本数多3本，则三个学生发到的读本数的平方和最小值为：

• A. 14
• B. 28
• C. 24
• D. 20

解析： 假设甲乙丙三人发到读本数分别为 $a$、$b$、$c$，则根据题意有 $a + 2b = c + 6$，$a + 2c = b + 3$，消去 $a$ 可得 $b = c + 1$，代入回去可得 $a = 4 - c$，所以三个学生发到的读本数的平方和 $= (4 - c)^2 + (c + 1)^2 + c^2 = 3c^2 - 6c + 17 = 3(c^2 - 2c + 1) + 14 = 3(c - 1)^2 + 14 \geq 14$，当且仅当 $c = 1$ 时取最小值。

答案： A

解法步骤：

1. 设三位学生分别拿到 $a,b,c$ 本读本，且均为非负整数。

2. 根据题意列方程：

   $$\begin{cases} a + 2b = c + 6,\\ a + 2c = b + 3. \end{cases}$$

3. 由第一式得 $a = c + 6 - 2b$，由第二式得 $a = b + 3 - 2c$。 将二者相等，得到

   $$c + 6 - 2b = b + 3 - 2c \;\Longrightarrow\; 3c - 3b + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; c = b - 1.$$

4. 再代回 $a = c + 6 - 2b$，得

   $$a = (b-1) + 6 - 2b = 5 - b.$$

5. 因为 $a,b,c\ge0$，所以

   $$5 - b \ge 0,\quad b \ge 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 \le b \le 5.$$

6. 计算平方和

   $$S(b) = a^2 + b^2 + c^2 = (5 - b)^2 + b^2 + (b - 1)^2 = 3b^2 - 12b + 26,$$

   在 $b=1,2,3,4,5$ 中检验：

   $b$	$S(b)$
   1	17
   2	14
   3	17
   4	26
   5	41

   最小值为 14，对应 $b=2$，此时 $a=5-2=3$，$c=2-1=1$，满足原方程。

因此，三个学生发到读本数的平方和最小为 14。

答：A. 14。

3. 整数倍数特性

例题3【较难】： 已知正月初六从某火车站乘车出行旅客人数恰好是正月初五的8.5倍，且恰好比正月初七少 $9\%$，则正月初七从该火车站乘车出行的旅客人数至少是：

• A. 850人
• B. 1300人
• C. 1700人
• D. 3400人

解析： 假设初五初六初七人数分别为 $a$、$b$、$c$，根据题意可知 $b = 8.5a = \frac{17a}{2}$，$c = \frac{b}{0.91} = \frac{100b}{91}$，即 $c = \frac{100 \times 17a}{91 \times 2} = \frac{850a}{91}$。则因为 $c$、$b$、$a$ 都是整数，所以 $b$、$a$ 必然是91的整数倍，则 $c$ 必然是100、850的倍数，所以至少是100、850的最小公倍数1700。

或者： 因为 $c = \frac{100}{91} b = \frac{850}{91} a$，所以 $c$ 是100的倍数，排除 A；所以 $c$ 是850的倍数，排除 B。C、D 中最小是 C。

答案： C

设正月初五的乘客人数为 $x$（人），则：

1. 正月初六人数：

   $$x_6=8.5x=\frac{17}{2}x.$$

   因为人数为整数，$\tfrac{17}{2}x$ 为整数，故 $x$ 必为偶数，不妨设 $x=2k$，则

   $$x_6=17k.$$

2. 题意“正月初六比正月初七少 9%”，即

   $$x_6 = x_7\,(1 - 9\%) = 0.91\,x_7 \;\Longrightarrow\; x_7 = \frac{x_6}{0.91} = \frac{17k}{0.91} = \frac{17k}{91/100} = \frac{1700\,k}{91}.$$

   要使 $x_7$ 为整数，$\frac{1700\,k}{91}$ 必须整除。因 $\gcd(1700,91)=1$，故 $k$ 必须是 91 的倍数。取最小正整数倍 $k=91$，得

   $$x_7 = \frac{1700\times91}{91} = 1700.$$

因此，正月初七的人数至少为 1700 人。

答：C. 1700 人。

4. 最佳方案问题

说明： 这类问题需要注意与工程合作问题的区别，其工作对象是独立的无法合作的，所以要注意整数性质。

例题4【模版题】： 甲、乙两人对100个家庭进行电话调查。若甲、乙完成对1个家庭的调查需要的时间分别是12分钟和20分钟，则他们完成这次电话调查需要的时间至少是：

A. 12小时28分钟
B. 12小时32分钟
C. 12小时36分钟
D. 12小时40分钟

解析： 甲乙时间比为 $12:20 = 3:5$，所以效率比为 $5:3$。要让完成100个家庭的调查用时最短，则尽量要同时完成，则分配任务量尽量要按照 $5:3$ 的效率比分配。而 $100 \div 8 = 12 \ldots 4$，无法除尽，需要对最后剩下的4家单独考虑。前面96家按照 $5:3$ 分配甲60家乙36家，用时 $60 \times 12 = 720$ 分钟即12小时。最后4家如果甲2乙2则需要 $20 \times 2 = 40$ 分钟，如果甲3乙1需要 $12 \times 3 = 36$ 分钟，所以至少需要12小时36分钟。

答案： C

把甲完成的家庭数设为 $x$，则乙完成的家庭数为 $100-x$。

• 甲完成 $x$ 个家庭需要的时间：$12x$（分钟）
• 乙完成 $100-x$ 个家庭需要的时间：$20(100-x)$（分钟）

两人同时进行，整个调查的完成时间是两人的工作时间的最大值：

我们要使 $T(x)$ 最小。先令两者相等求近似平衡点：

因为家庭数必须为整数，检查 $x=62$ 与 $x=63$：

最小的完成时间是 756 分钟。

因此他们完成这次电话调查所需的最少时间为 12 小时 36 分钟。

例题5【较难】： 用一个饼铛烙煎饼，每次饼铛上最多只能同时放两个煎饼，煎熟一个煎饼需要2分钟的时间，其中每煎熟一面需要一分钟。如果需要煎熟15个煎饼，至少需要多少分钟？

• A. 14
• B. 15
• C. 16
• D. 30

解析： 饼铛1分钟可以煎熟2个面，15张煎饼有30个面，所以需要 $\frac{30}{2} = 15$ 分钟。

答案： B

要解决这个问题，我们需要优化煎饼的烙制过程，充分利用饼铛每次最多放置两个煎饼的空间，以最少的时间煎熟所有煎饼。

1. 单个煎饼与两个煎饼的情况：
   每个煎饼需要煎两面，每面1分钟，总耗时2分钟。若同时煎两个煎饼，可同时利用饼铛的两个位置：先煎两面的第一面（1分钟），再翻面煎第二面（1分钟），同样2分钟即可煎熟两个，效率最高。

2. 多个煎饼的规律：

   • 当煎饼数量为偶数时，每次煎两个，总时间等于煎饼数量（例如4个煎饼需4分钟，6个需6分钟）。
   • 当煎饼数量为奇数时，关键是处理前3个煎饼，剩余的偶数个按上述规律操作。
     以3个煎饼为例：
     • 第1分钟：煎A正面和B正面；
     • 第2分钟：煎A反面和C正面（A熟）；
     • 第3分钟：煎B反面和C反面（B、C熟）。
       共3分钟，即3个煎饼需3分钟。

3. 15个煎饼的计算 15是奇数，可拆分为“3个 + 12个（偶数）”：

• 前3个煎饼需3分钟；
• 剩余12个（偶数），每次煎2个，需12分钟。

总时间：3 + 12 = 15分钟。

答案：B

真题扩展

例（2024 联考）某部门工会为丰富职工文化生活增进职工身心健康，组织开展了拔河、羽毛球、乒乓球、台球四项比赛活动，每名职工参加一项或者两项比赛。若要保证至少有 5名职工参加的比赛项目完全相同，则该部门参加比赛的职工至少有：

• A.40 名
• B.41 名
• C.50 名
• D.51 名

解析：

• 每名职工报 1 项或 2 项。

• 可能的“参赛组合”（完全相同指组合一致）共有：

  • 报 1 项：$C_4^1=4$ 种；
  • 报 2 项：$C_4^2=6$ 种；
  • 合计 $4+6=10$ 种组合。

要保证“至少 5 人组合完全相同”，等价于：任一组合出现人数 ≥ 5。 按鸽巢原理，若想尚不能保证出现 5 人同组合，最多可让每种组合各有 4 人，即 $10 \times 4=40$ 人仍可能没有某一组合到 5 人。 因此再多 1 人（第 41 人）就必然使某一组合人数达到 5。

至少需要 41 名 才能保证存在 5 名 职工参赛项目完全相同的组合。

易错点提醒：这里的“完全相同”是指报的项目集合一致（如“羽毛球+乒乓球”与“乒乓球+羽毛球”算同一组合），不是“有相同项目”。

例（2024 联考）部队射击比赛中，5 名参赛的战士共击中了 88 次目标。已知任意 2 人击中的目标数量均互不相同，问射击成绩排前两名的战士至少击中了多少次目标？

• A.37
• B.39
• C.58
• D.82

解析：

设定与可行性约束

设第二名为 $x$，第一名为 $x+1$（使前两名之和最小）。 为了在不增大前两名的前提下尽量“凑够”总和 88，把其余三人尽量取大但仍需互异且小于 $x$，取为：

$x-1,\;x-2,\;x-3.$

此时在“前两名最小（$x,x+1$）”的前提下，总和能达到的最大值是

$(x+1)+x+(x-1)+(x-2)+(x-3)=5x-5.$

要在不提高前两名的情况下把总和“凑到” 88，必须有

因此整数下界是 $x=19$，此时前两名之和最小为

构造一组可行解

取后三名为 $\{14,17,18\}$（互不相同且都小于 19），则 $14+17+18+19+20=88,$

满足题意，且前两名合计 $39$。

例（2022 江苏）某机构对全运会收视情况进行调查，在 1000 名受访者中，观看过乒乓球比赛的占 87%，观看过跳水比赛的占 75%，观看过田径比赛的占 69%。这 1000 名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：

• A.310 人
• B.440 人
• C.620 人
• D.690 人

解析：

（容斥/鸽巢思路）

设看乒乓、跳水、田径的人数分别为 $|A|=870,\ |B|=750,\ |C|=690$，总人数 $N=1000$。

把每个人“贡献”的观看次数相加，得到

若尽量减少“三看全”的人数，就尽量让人们只看不超过两项。这样每人最多贡献 2 次，总贡献不超过 $2N=2000$。但实际贡献是 2310，多出来的$2310-2000=310$必须由三看全的人来“补”（每个三看全的人相对“至多看两项”的上限多贡献 1 次）。 因此“三看全”的人数至少为 310。

（一般地：三集合“全交”的最小值 $\ge |A|+|B|+|C| - 2N$。）

（2021 广东选调）某单位在网上办公系统传阅了 15 份文件，甲阅读了 9 份，乙阅了 12 份，丙 阅读了 10 份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有（ ）份。

• A.0
• B.1
• C.2
• D.3

解析

• 总文件数 $N=15$。
• 三人阅读量之和：$9+12+10=31$。

若尽量让“三人共同阅读”的份数（记为 $t$）最小，就尽量让其他文件每份最多被两人阅读（这样每份文件对总阅读次数的贡献不超过 2）。 于是有不等式：

故 $t\ge 31-30=1$。

可行性构造（证明下界可达）

取“三人同读” $t=1$。其余 14 份各由恰好两人阅读，设

$|AB|=5,\ |AC|=3, |BC|=6$

则